談話会の講演者からアブストラクト(要旨)が提供されている場合には、ここに掲載します
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時間減衰磁場中の非線形修正散乱作用素の構成について
川本昌紀（愛媛大学大学院理工学研究科）
非線形シュレディンガー方程式は非線形項に応じて、その解が、非線形項の無い線形方程式の解(自由解)に漸近する場合や自由解に位相の修正を加えた修正解に漸近する場合などが存在する。後者を修正散乱といい非線形項の冪が次元分の２の場合には多くの結果が知られている。
一方で、線形方程式に時間減衰する磁場項を加えた問題に対して、修正散乱を考察した場合、この次元分の２のよりも大きい、磁場に応じたある量が修正散乱の閾値となる。
本講演では、この新たな閾値の下での修正散乱及び修正散乱作用素の構成についての結果を報告する。
本研究は宮崎隼人氏(香川大学)との共同研究に基づく。
等周不等式と測度距離空間の収束理論
中島啓貴（愛媛大学大学院理工学研究科）
測度距離空間の幾何学では，一つ一つの測度距離空間のみを考えるのではなく測度距離空間全体の空間を考察する．測度距離空間全体の空間にはM.Gromovの導入したボックス距離やオブザーバブル距離が定まる．これらの距離によって測度距離空間列の収束が定まるが，それに伴い「空間の列がどのような空間に収束するか」や「ある条件をみたす空間の列の収束先の空間もまたその条件を満たすか」という自然な問いが発生する．本講演では，ある型の等周不等式を満たす空間列の収束先もまた等周不等式を満たすことについて述べる．この結果を応用することにより，離散的な空間の等周不等式から連続的な空間の等周不等式を得ることができる．
Asymptotic behavior of the eigenfrequencies of a thin elastic rod with non-uniform cross-section of extremely oblate shape
牛越惠理佳（横浜国立大学大学院環境情報研究院）
本講演では，3次元における柱状の均質等方弾性体の変形に伴う固有値の漸近挙動の解析を行う． 断面形状が非一様の柱状弾性体の問題は，Jimbo-Rodríguez Mulet(2020)で考察された．本講演では，特に各断面が１方向に極端に つぶれるような場合の固有値の挙動を解析する．なお本講演は，北海道大学の神保秀一氏と横浜国立大学卒業生の吉原広将氏との共同研究に基づく．
quasi-Banach空間における合成作用素の有界性と力学系の安定性について
石川勲（愛媛大学データサイエンスセンター）
多様体上に（離散）力学系があると、多様体上の関数空間の上には引き戻しによって線形作用素が定まる（この線形作用素は合成作用素と呼ばれる）。関数空間にquasi-Banach空間の構造がある時に、適当な条件の下、この合成作用素が有界ならば下の力学系が非常に安定した挙動になることを示した。また、複素平面上の1次元複素力学系に焦点を絞ると、関数空間が整関数からなる時、合成作用素が有界ならば力学系がアフィン写像になることが証明できる。この談話会ではこれらの結果について研究の背景から概説したい。
地球・惑星の画像アーカイブに対する機械学習の手法による知識抽出の試み
本田理恵（愛媛大学データサイエンスセンター）
衛星画像・監視カメラ画像などの画像アーカイブから時空間変動パターンを発見を試みる様々な事例について、どのようにモデル化し、どのような手法を用い、またどの程度の性能が実現できるのか、オムニバス的に紹介したい。また最近行っている敵対的生成ネットワークの小惑星画像への適用による情報抽出やデータの有用性の拡大の試みについても紹介したい。
非捕捉的な古典軌道が生成する半古典量子共鳴
樋口健太 (愛媛大学理工学研究科)
シュレディンガー作用素は対応する古典力学における非捕捉的な（古典的粒子が時間無限大において必ず遠方へと散逸する）実エネルギーの（半古典）近傍に共鳴をもたないことが知られている．特にポテンシャルが滑らかな場合には，半古典パラメータ h↓0 の極限において虚部の大きさが h log(1/h) 以下のオーダーとなるような共鳴は存在しない（Martinez (2002)）．
本研究では，行列値（ポテンシャルをもつシュレディンガー）作用素はこの範囲にも共鳴をもち得ることが明らかになった．行列値作用素では，固有ポテンシャル（行列値ポテンシャルの固有値）に関する（スカラー値）シュレディンガー作用素にそれぞれ古典力学が対応する．これらの古典力学に共通して非捕捉的であるようなエネルギーの近傍であっても，古典軌道が互いに交差することによって「閉軌道」をつくる場合には虚部が -Mh log(1/h)の共鳴が存在することがわかった．この係数Mは，古典的粒子が「閉軌道」を周回するために要する時間と交差の幾何学的な条件により決定される．
Hopf bifurcation in artificial compressible system for doubly diffusive convection
寺本有花 (愛媛大学理工学研究科)
有界領域上における非圧縮Navier-Stokes方程式と人工圧縮方程式系の分岐問題について考察する．人工圧縮方程式系は数値計算においてしばしば用いられる非圧縮Navier-Stokes方程式の近似方程式である．人工圧縮方程式系に含まれるマッハ数をゼロとすると非圧縮Navier-Stokes方程式が得られるが，これは特異極限であるため，解の分岐・安定性構造が似通ったものになると簡単には結論できない．本講演では，主に人工圧縮方程式系のHopf分岐問題を考察し，ある場合にはマッハ数が十分小さければ時間周期解の分岐・安定性が人工圧縮方程式系と非圧縮Navier-Stokes方程式系とで同じになるという結果を紹介する．
リーマン面のタイヒミュラー空間上の2つの距離について
金城絵利那 (愛媛大学理工学研究科)
リーマン面（複素一次元多様体）の変型空間である，タイヒミュラー空間の距離について考察する．この空間では一般に，タイヒミュラー距離と呼ばれる，リーマン面の複素構造の差異を測る距離が定まる．またリーマン面が双曲型のとき，レングス・スペクトラム距離と呼ばれる，リーマン面の双曲構造の差異を測る距離が定まる．タイヒミュラー空間が有限次元のとき，この2つの距離は同じ位相を定めることが知られているが，無限次元の場合は，一般にそうではない．本講演では，リーマン面がある幾何学的条件をみたせば，2つの距離は同じ位相を定めること，さらに言うと，その条件をみたせば，2つの距離空間の間の恒等写像は局所双リプシッツになることを解説する．
滑らかな領域におけるノイマン境界値問題に対する有限要素法の最大値ノルム誤差評価について
柏原 崇人 (東京大学大学院数理科学研究科)
最大値ノルムによる有限要素法の誤差評価手法の開発については，1970年代のJ.A. Nitsche, A.H. Schatz, L.B. Wahlbinを含む先駆者の研究以来，多くの貢献がなされ，現在では標準的な証明法が確立されたと言える状況にある．一方で，有限要素法で滑らかな領域（曲がった境界を持つ領域）を扱う際は，多角形や多面体領域で近似した上で三角形分割・有限要素空間の導入・定式化を行うのが最も基本的であるが，そのような領域近似（領域摂動）に伴う誤差を考慮した厳密な最大値ノルム誤差解析は，凸領域かつ斉次ディリクレ境界条件の場合でしか知られていないと思われる．本講演では，一般の滑らかな領域上のポアソン方程式の非斉次ノイマン問題に対して，領域摂動誤差を考慮した最大値ノルム誤差評価を考察し，hをメッシュサイズとしたときにO(h^2 |log h|)，すなわち領域摂動なしのP1要素の場合と同等の誤差評価が得られたことを報告する．証明の鍵は，上で述べた標準的な手法において複数回用いられるガラーキン直交性が厳密には成立しなくなるものの，メッシュサイズが0になる極限のもとで漸近的に成り立つことを領域摂動評価を用いて示す点にある．本結果は剱持智哉氏（名古屋大学）との共同研究にもとづく．
大阪大学における数理データ科学教育研究への取り組み：データ科学と認知モデリング (DSシリーズ第10回)
朝倉 暢彦 (大阪大学 数理・データ科学教育研究センター)
大阪大学数理・データ科学教育研究センターは2015年10月の設立以降，全学部・大学院（修士・博士）・社会人向けに多彩な数理データ科学教育プログラムを提供している．本講演ではその概要とセンターでの実施体制について述べる．そして，単なるデータ解析の手法に留まらない，ヒト認知機能モデリングの理論的枠組みとしてのデータ科学という観点で講演者の研究事例を紹介する．
情報とその意味とは何か？生物学・哲学・数学の境界領域から考える (DSシリーズ第9回)
中島 敏幸(愛媛大学)
データサイエンティストもロボットも猫も大腸菌もみな情報を得てその処理 をしている。では，“情報（ほぼ同義として“データ“）”とは何だろうか。 “情報（を得る）”という言葉は主に“知る”という意味と“パターン伝播” の二つの意味で使われている。前者は認識論的（心的）な側面で，後者は 存在論的（物・エネルギー的）な側面だ。この談話会では，生物学・哲学・ 数学が交差する視点から情報と情報の意味とは何かについて，先人の考えを 紹介しながら答えを探索する。
データサイエンスとの関わりにも触れ，議論のきっかけにしたい。
時間周期磁場中のシュレーディンガー方程式について
川本昌紀 (愛媛大学)
本講演では時間周期磁場中の線型シュレーディンガー方程式を考察する。この系における古典軌道はヒルの方程式によって記述され、ヒルの方程式の決定指数により、大きく分けて３つの物理状態に分類させる。本講演では、この３つの状態がそれぞれ
で特徴づけられる事を証明する。また時間が許せば、(III)の場合におけるスペクトル・散乱理論について得られた結果を紹介する。
高次元・無限次元の自由度をもつ統計モデルにおけるベイズ統計学 (DSシリーズ第8回)
矢野 恵佑 (東京大学大学院情報理工学系研究科)
高次元・無限次元の自由度をもつ統計モデルにおけるベイズ的手法の理論的性質に関して講演する。近年、データのもつ次元数が標本数よりも多い高次元の統計モデルが幅広く利用されている。また、深層学習やサポートベクトルマシンに代表される関数空間の自由度をもつ統計モデルも注目を集めている。ベイズ統計は推定だけではなく信頼領域や予測領域の構成を行うことができ、また、経験的な性能の良さからこれらの統計モデルにおいて幅広く利用されている。しかし、高次元・無限次元の統計モデルにおいてベイズ的手法がどのような性質をもつかは従来の統計モデルと比べ未解決の部分が多い。本研究では講演者の最近の研究をもとに高次元・無限次元の統計モデルにおいて事前分布の選択がその後の推論にどのように影響するかを紹介する。具体的には、(i)擬疎性をもつ高次元カウントデータ解析におけるミニマックス最適な事前分布の構成法 (ii)関数推定問題におけるベイズ信用バンドの被覆確率に事前分布が与える影響の定量化に関する研究を紹介する。
因子分析のスパース推定とその応用 (DSシリーズ第7回)
廣瀬 慧 (九州大学 マス・フォア・インダストリ研究所)
因子分析モデルは，観測されるの変数間の相関関係から，観測されない共通因子を見出すモデルであり，心理学，社会科学，生命科学など，様々な分野に応用されている。この談話会では，因子分析のスパース推定について述べ，従来法である因子回転との比較を行う。また，提案法のアンケートデータ解析，画像解析，fMRIデータ解析への適用について述べる。
データ可視化の世界と歴史 (DSシリーズ第6回)
五十嵐康伸 (E2D3.org代表、パーソルキャリア株式会社)
この10年間のweb技術の発達により、「ダイナミック（時間と共に動く）かつインタラクティブな（マウス操作により動く）データの可視化表現」が多く生まれ、研究者のみならずメディアや自治体でも多く活用されている。これらのデータ可視化表現が歴史的にはどのように産まれ、世界的にどのように進化したのかを体系的に説明する。また、我々が開発したデータ可視化プラットホームE2D3（Excel to D3.js）の機能と機構についても説明する。
機械学習入門 (DSシリーズ第5回)
二宮崇 (愛媛大学大学院理工学研究科)
本講演は、現在の人工知能技術の中核となっている機械学習について概説する。機械学習分野の全体像を紹介し、最尤推定、MAP推定、ベイズ推定、マージン最大化、深層学習について解説する。
On the permutation group of the real line preserving Lebesgue null and meager ideals
大下達也（愛媛大学）
実数全体の集合には，次の2種類の「小さな」部分集合がある: 1つはLebesgue外測度が0であるような集合，すなわちLebesgue零集合(Lebesgue null set)であり，もう1つは閉包が内点を持たない集合達の高々可算個の和集合として得られる第一類集合(meager set)である．連続体仮説の下では，Lebesgue零性と第一類性の間にある種の対称性があることが知られている．
本講演では，Lebesgue零性と第一類性を保つような実数の置換全体のなす群G（および関連する群）の連続体仮説の下での構造に関して，得られた結果について述べる．特に，群Gの任意の元が特定の性質を持つ対合達の有限個の合成で表されることや，実数全体の集合の冪集合のG安定なイデアルを用いてGの正規部分群が分類できることを紹介する．尚，本研究の結果は，連続体仮説の下でGと同型になるような群を含むようなある特定の系列に属する群達の構造を解析することで得られたものである．時間が許せば，この群の系列に関する結果の群G以外の対象への適用例についても言及したい．
本講演は藤田博司氏（愛媛大学）との共同研究に基づく．
関数データに基づく統計的モデリング (DSシリーズ第4回)
松井秀俊 (滋賀大学データサイエンス学部)
関数データ解析は，観測値が各個体に対して，時間や位置の変化に伴い繰り返して得られた形式のデータを分析するための方法の1つである．関数データ解析では，経時的に測定データを関数化処理し，得られた関数データ集合を対象として分析を行う．これにより，観測時点や観測時点数が個体ごとに異なっていても容易に分析ができるという利点がある．本講演では，関数データに基づく統計的モデリング手法と，これを用いた実データの分析事例をいくつか紹介する．
Besov空間における深層学習の汎化誤差解析およびモデル解析への応用 (DSシリーズ第3回)
鈴木大慈（東京大学）
深層ニューラルネットワークの学習能力およびその理論の応用について講演する．まず，前半では深層学習の関数近似能力および推定誤差について，真の関数クラスとしてBesov空間を対象として理論解析の結果を紹介する．導出された近似誤差のレートは任意の非適応的関数近似手法よりも良いレートを達成し，推定精度についてもpoly-log(n)オーダーを除いてミニマックス最適レートを達成することを紹介する．このことから，特に滑らかさが非一様であったり不連続な点のある関数クラスにおいて線形推定量よりもミニマックスリスクの意味で優越することが示される．後半では，再生核ヒルベルト空間の理論を用いたモデル圧縮の理論について述べる．深層学習は大きなネットワークでも汎化することが実験的に知られている．その一つの理由として，ネットワークの隠れた実質的次元が小さいことが考えられる．その隠れた次元として，古典的な「自由度」を用いることで，実際にネットワークがより小さなネットワークに圧縮できること，およびそれによって汎化性能が保証されることを紹介する．また，理論に合った圧縮方法を提案し，種々のデータセットで実施した数値実験の結果を紹介する．また，時間があれば関数空間における勾配ブースティング法による深層ニューラルネットワークの構造決定方法についても触れる．
対称群の既約表現とp飽和マヤゲーム
入江 佑樹（東北大学数理科学連携研究センター）
表現とゲームの間の一つのつながりを紹介する. 1970年代頃, 佐藤幹夫は「対称群のフック公式」と「マヤゲームのSprague-Grundy関数（SG関数）の明示公式」の形が似ていることなどから, 両者には見かけ以上の関連があることを予想した. 本講演では対称群の既約表現の次数に関する定理を与え, この定理からp飽和マヤゲームのSG関数の明示公式が得られることを紹介する.
オープンサイエンス＆オープンエデュケーション with オープンマインド (DSシリーズ第2回)
内田誠一 （九州大学数理・データサイエンス教育研究センターおよびシステム情報科学研究院）
九州大学では2017年10月より「数理・データサイエンス教育研究センター」を設置し，全分野横断・全学年縦断の教育を実施するとともに，データ解析をハブとした全分野融合を図っている．本談話会では同センターの活動状況を報告するとともに，画像情報学（単なる画像処理だけでなく，パターン認識や機械学習なども含む分野）の研究者である演者が実施している多様な分野とのコラボレーションについて紹介する．また，画像情報学分野へのディープニューラルネットワーク「ブーム」の影響についても触れたい．
人工知能ブームを支える機械学習技術 (DSシリーズ第1回)
田村 晃裕 （愛媛大学大学院理工学研究科電子情報工学専攻）
本講演では，人工知能時代のデータサイエンスに欠かせない機械学習について概説する．また，近年注目を集めている深層学習について，演者の専門分野である自然言語処理における適用例を交えて紹介する．
ポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式のストリッカーツ評価について
水谷 治哉 （大阪大学）
非線形偏微分方程式を対応する線形方程式の摂動とみて解析する場合、線形解の性質（正則性、有界性、減衰性など）をノルム不等式を用いて評価することは重要である。非線形分散型および非線形波動方程式の時間大域的解析では、対応する線形方程式のストリッカーツ評価が基本的な道具であることが知られている。この講演では、無限遠方で減衰する実ポテンシャルを伴うシュレディンガー方程式のストリッカーツ評価について、研究の背景、既知の結果と最近の進展などについて概説する。
多面体に対する Gauss-Bonnet 定理と Alexander-Spanier コホモロジー
森吉 仁志（名古屋大学）
有名な Gauss-Bonnet 定理によれば，滑らかな閉曲面上でガウス曲率を積分すると，その値は閉曲面のオイラー数の\(2\pi\)倍となる．一方，閉多面体（多面体であって閉曲面に同相な位相空間）を考えると，各頂点に対して角欠損（Angle defect)という実数が定まり，角欠損の総和を取ると，同じくオイラー数の\(2\pi\)倍となることが知られている（この定理は1630年のデカルトまで遡る）．この２つの定理の類比から，多面体における角欠損と，滑らかな曲面におけるガウス曲率との対応に関心が生じる．本講演では，Alexander-Spanierコホモロジーという概念を介して，角欠損とガウス曲率が幾何的に結びつく様子について話をする．．時間があれば，高次元への一般化についても言及する．
ほどほどに大きい代数体上の Mordell-Weil群
田口 雄一郎 （東京工業大学）
体 \(K\) 上のアーベル多様体 \(\mathbf{A}\) の Mordell-Weil群 \(\mathbf{A}(K)\) は、\(K\) が素体上有限生成な体ならば有限生成である事がよく知られてゐる（Mordell-Weil の定理）。一方、例へば \(K\) が有理数体 \(\mathbb{Q}\) の時、\(\mathbf{A}(\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}})\) は無限階数であらうと予想されてをり（Frey-Jarden の予想）、これについて幾つかの結果が知られてゐる。この場合の「無限階数」とは「tensor Q したものが無限次元」の意味であるが、今回は「\(K\) が大き過ぎなければ \(\mathbf{A}(K)\) や \(\mathbf{A}(K)/(\mathrm{torsion})\) は可除部分群を含まない」といふ方向の結果を紹介する。（小関祥康氏との共同研究）
Large-scale geometry of asymmetric spaces: an introduction to quasi-coarse spaces
Nicolo Zava (University of Udine, Italy)
Large-scale geometry, also called coarse geometry, is the study of global properties of spaces, and it was initially developed for metric spaces, but then in the literature some generalisations emerged, such as Roe's coarse spaces. However, coarse spaces are inherently symmetric structures and thus they are not suitable object to describe interesting asymmetric spaces, such as quasi-metric spaces, preordered sets, and directed graphs. Quasi-coarse spaces were recently introduced to fill that gap (https://arxiv.org/abs/1805.11034). The goal of this talk is providing a gentle introduction to those structures and the theory developed so far, also by focusing on some examples.
無限次元多様体の解析的指数とKK理論
高田土満 （東京大学）
Atiyah-Singerの指数定理は，閉多様体上の解析的指数と位相的指数が一致することを主張する，微分トポロジーの金字塔の一つである．私の研究目標は，その指数理論の無限次元多様体版を与えることである．そのためには，できるだけ単純な場合から始めるのが自然であるため，次の問題を考えることにした：円周 \(T\) のループ群 \(LT\) が，「固有かつ余コンパクトに」作用している無限次元多様体に対する \(LT\) 同変指数理論を，KK理論的な観点から構築せよ．いまだにこの問題の解決には至っていないが，arXiv:1701.06055，arXiv:1709.06205 では，「関数空間」と見なせるHilbert空間を始めとする，解析的指数理論を構築するのに不可欠な対象をいくつか構成した．本講演では，この問題に対する現時点での結果を説明する．
凸多面体と可換代数と統計の奏でる三重奏を聴く
日比孝之（大阪大学大学院情報科学研究科）
Box--Behnken 計画の主効果モデルと呼ばれる統計モデルを、マルコフ連鎖モンテカルロ法を使いサンプリング検証をする際、マルコフ連鎖を発祥させるマルコフ基底は、Ｄ型ルート系のトーリックイデアルの生成系と解釈できる。他方、Ｄ型ルート系に付随する格子凸多面体の正則単模三角形分割の情報から、Ｄ型ルート系のトーリックイデアルのグレブナー基底を導くことができる。一般に、グレブナー基底は生成系であるから、Box--Behnken 計画の主効果モデルのマルコフ基底が、凸多面体の三角形分割を経由し、発掘される。本講演では、以上の流れを、統計とグレブナー基底の予備知識を仮定せず、紹介する。
Neumann型臨界Hardy-Sobolev不等式に関連する最小化問題
橋詰雅斗（愛媛大学理工学研究科）
Sobolev空間から重み付きLebesgue空間への埋め込みに関するHardy-Sobolev不等式に関して、その不等式に現れる最良定数を達成する最小化関数の存在・非存在について考察する。値域が無限次元空間の場合にのみ起こることがある有界作用素の非コンパクト性がこの最小化問題にも影響し、最小化関数の存在は非自明なものになっている。本講演ではNeumann型と呼ばれる境界条件を課さないSobolev空間に関する不等式を考察し、この場合には、領域のスケールの大小によって最小化関数の存在・非存在が分かれるという結果を紹介する。また最小化関数が存在した場合の、その関数の性質について得られた結果も紹介する。
Kaplansky予想とその応用について
富安亮子（山形大学理学部）
Kaplansky予想は、3変数正定値2次形式のペアf,gでZ上同値でないものについて、そのZ上の値全体(Z上表現)が一致するものがどのくらいあるかという問題を扱っている。講演者は、結晶学への応用をきっかけに、Kaplansky予想を具体化する計算を行った。前半は、特に数理結晶学分野のある実験データ（粉末回折パターン）が数論の応用という意味で都合の良い形をしていることを紹介する。応用の方面における講演者の研究は、結晶学・diffractionに関わる手法開発になるが、上記の計算を行った関数は結晶学のソフトウェアにも導入されており、意外と純粋数学や代数学の知識も役には立つと言える。後半は、上記の計算結果から示唆される未解決問題（中学生でも問いの理解は可能）、および主定理としてKaplansky予想に現れる無限系列の満たす性質の証明を紹介する。Kaplansky予想は2次形式のペアの同時表現の議論に帰着されるため、主定理の証明は、Bhargavaの4次環のパラメトライゼーションを用いて体の議論に帰着することで行った。
有限次元非正曲率距離空間への群作用の固定点性質について
加藤本子 (東京大学)
Hellyの定理は、ユークリッド空間の有限の凸集合族が共通部 分を持つ状況についての古典的な結果である。Farbはこの定理の一般化を用いて、有限次元非正曲率距離空間への群作用について、大域的な固定点の存在を調べる手法を導入した。この講演では、Farbの手法をRichard Thompsonの群 \(T\) とその一般化について適用し、これらの群の有限次元CAT(0)方体複体への等長作用が固定点を持つことを述べる。
Lax-MilgramからBanach-Necas-Babuskaへ：DG時間離散化法の変分法的な解析
齊藤 宣一（東京大学大学院数理科学研究科）
Lax-Milgramの定理は，線形楕円型偏微分方程式の解の一意存在を 証明するための最も基本的な定理の一つである一方で，有限要素 法による近似解の誤差評価の際にも基本的な役割を果たす． この講演では，その拡張の一つであるBanach-Necas-Babuskaの 定理を取り上げ，その歴史や証明の要点を概観し，さらに，定理が 放物型方程式の数値解法，特に不連続Galerkin(DG)時間離散化手法 の安定性解析・誤差解析へ応用できることを紹介したい．
ベイズ型時系列・時空間解析による自然現象・社会現象の理解
中村和幸（明治大学先端数理科学研究科）
本講演では，津波，地盤沈下，遺伝子ネットワーク，マーケティング， 高頻度為替取引データ，連続犯罪の地理的プロファイリングなど， 講演者が共同研究として進めてきたベイズ型時系列・時空間解析の各種応用研究について紹介するとともに， その基礎となっている状態空間モデルと粒子フィルタについて説明する． 状態空間モデルは，時系列解析における基礎的なモデルのクラスであり， 多くの時系列モデルについて，状態空間モデルで表現することが可能であり， 粒子フィルタによって推論可能である． しかし， 実問題における適切な推定のためには， 問題を理解したモデリングが重要である．講演では，手法とモデリングの両面について紹介し， さらに，モデリングにおける指針や自動化のための取り組みについても紹介する．
符号とマトロイドの極値問題について
城本啓介（熊本大学工学部）
マトロイドとは，行列やグラフの概念を抽象化した組合せ構造であり，グラフ理論をはじめとした組合せ論の幅広い分野と深く関係した数理構造をもつ．また近年では，組合せ最適化問題や秘密分散共有法の数理構造の特徴付け等の様々な分野における応用研究も活発である．本講演においては，前半に符号とマトロイドについての総論的な話題を紹介し，後半はマトロイドの古典的問題の1つである極値問題の研究に焦点を絞り，いくつかの関連した結果について符号理論の立場から紹介する．なお，当該分野についての予備知識は仮定しない．
消散型波動方程式の解の分解表示と解の最大点挙動について
若杉勇太(愛媛大学工学部)
消散型波動方程式は, 摩擦の効果を伴う波の伝播を記述する偏微分方程式であるが, その解の挙動は通常の波動方程式とは大きく異なり, 解は熱方程式の解のように振る舞うことが知られている. 本講演ではまず消散型波動方程式の解の熱部分と波動部分への分解を与える. さらにその応用として, 解の空間最大点が時間経過とともにどのように振る舞うのかを考察する. 本講演は坂田繁洋氏（宮崎大学）との共同研究にもとづく.
分割された多様体のToeplitz指数定理
瀬戸樹（名古屋大学）
偶数次元閉多様体におけるDirac作用素の指数定理 (Atiyah-Singer) は, Gauss-Bonnetの定理などを含む重要な定理である. しかし, 奇数次元に対しては意味をなさない. 奇数次元に対しては, Dirac作用素ではなくToeplitz作用素を考えることで意味のある指数定理を得ることができる (Baum-Douglas). また, 非可換幾何学を用いることで, 指数定理は様々な設定の下で一般化されており, 分割された完備Riemann多様体もその一種である. この場合も, 多様体の次元の偶奇によってDirac作用素 (Roe,Higson) とToeplitz作用素 (瀬戸) を使い分ける. 談話会では, 最も簡単な閉多様体である単位円周上のToeplitz作用素の指数定理を題材にして指数定理に現れる道具に親しんでから, 閉多様体上の指数定理を概観し, 分割された多様体上の指数定理を紹介する
非コンパクトな軌道を持つ力学系を巡って
石渡通徳氏（ 大阪大学大学院基礎工学研究科 ）
力学系理論が微分方程式の解析に有効な視点を与えることはよく知られており、常微分方程式を始めとする有限次元力学系の理論は現在では十分進展している。放物型偏微分方程式の多くは無限次元力学系の構造を有しており、軌道の相対コンパクト性の仮定のもとに、例えば軌道の定常解への漸近現象などが安定性理論の枠内で議論されているが、これは本質的に有限次元的現象であって、無限次元性の本質である「有界だがコンパクトでない」軌道に関する研究はあまり進んでいない。本講演では偏微分方程式の解の挙動として、実際に非コンパクトな解軌道が現れ、それが「逃げ去り」や「凝集」といった特異な現象と密接に関連することを議論する。
Einstein方程式の安定な数値計算法について
土屋拓也（早稲田大学）
Einstein方程式は、拘束条件を伴う連立の非線形発展方程式であり、高精度な数値解を求めることが困難である。本講演では、拘束条件の時間発展方程式（拘束伝播方程式）の係数行列の固有値とペナルティー法の考え方から、連続の場合における数値安定な方程式構築についての発表を行う。さらに、離散変分法を用いて数値安定な離散方程式の構築についての発表も行う。
リー理論と動画生成
落合啓之（九州大学マス・フォア・インダストリ研究所）
リー群やリー環は、多様体論や群論、あるいは、非結合代数を基盤に置くと、準備が多く敷居が高い印象を受ける。一方で、コンピュータ・グラフィックスを用いたアニメーションの作成では、回転や運動や変形を組織的に用いることがある。したがって、実質的にリー理論に相当する内容を、手早くかつ正確に使える形で理解できることが望ましい。昨年度末にCRESTプロジェクトの一環としてこれらの目的の一助となるようなビデオを作成した。このビデオを見てもらいながら、リー理論が動画生成に活かされる一側面に触れる。（リー理論やCGに関する予備知識は仮定しません。）
Infinite sheeted covering map on solenoids
江田 勝哉（早稲田大学）
この講演の概要はPDFファイルで提供されています： TGSAsem21-eda-abstract.pdf
圧縮性遷移境界層における渦動力学の直接シミュレーション
松浦一雄 (愛媛大学工学部)
固体壁面近くを空気が流れると境界層と呼ばれる流れの慣性力に比べ粘性の影響が強い領域が形成される。この境界層で層流―乱流遷移が起こる際さまざまな特徴的渦構造が出現する。本発表では，航空宇宙分野で見られるような早い流れで起こる平板境界層の遷移を対象として，渦挙動やその安定性について直接シミュレーションの結果を発表する。 （環瀬戸内ワークショップと共催）
複比とその仲間たち
金井雅彦 (東京大学)
複比と，その仲間ともいうべきシュワルツ微分やパラケーラー構造，あるいは測地カレントがこの物語の主役たちです．とくに群作用等に関する剛性問題において彼等が活躍する様子をご覧頂ければと思います． (愛媛大学代数セミナーと共催)
素数と概素数の分布について
宗野惠樹 (愛媛大学)
双子素数予想をはじめとする, 隣接する素数の差に関する研究はここ数年で目覚ましい発展を遂げている. 当講演では, Zhang, Maynard, Taoらによる素数分布の成果を紹介したのち, 彼らの手法を概素数(相異なる2つの素数の積で表される整数)に適用して得られた結果とその応用可能性について話す予定である.
製薬業界における数理モデルの活用の現状と課題
青木康憲 (University of Exeter, UK)
Nonlinear mixed effect model has been shown to be an effective tool for the analysis of clinical trial data. As a result, pharmacometric analysis based on nonlinear mixed effect models, also known as population approach, has become an essential step of drug development. As the importance of pharmacometric analysis increases, more and more complex mathematical models are introduced and more complex challenges in mathematics and numerical computations start to arise. In this talk we briefly describe the overview of pharmacometrics, then share the speaker’s experience of working in the field of pharmacometrics as an applied mathematician. We will base this talk around two published papers [1,2] and one manuscript/presentation [3], to present case examples on how applied mathematicians can potentially make differences to the field of pharmaceutical drug development.
[1] Yasunori Aoki, Rikard Nordgren, and Andrew C. Hooker. "Preconditioning of Nonlinear Mixed Effects Models for Stabilisation of Variance-Covariance Matrix Computations." The AAPS journal (2016): 1-14.
[2] Yasunori Aoki, Monika Sundqvist, Andrew C. Hooker, and Peter Gennemark. “PopED lite: an optimal design software for preclinical pharmacokinetic and pharmacodynamic studies” Computer Methods and Programs in Biomedicine (2016), pp. 126-143.
[3] Yasunori Aoki, Bengt Hamrén, Daniel Röshammar, Andrew C. Hooker “Averaged model based decision making for dose selection studies”, European Medicines Agency/European Federation of Pharmaceutical Industries and Associations workshop on the importance of dose finding and dose selection for the successful development, licensing and lifecycle management of medicinal products, http://www.ema.europa.eu/ema/index.jsp?curl=pages/news_and_events/events/2014/06/event_detail_000993.jsp&mid=WC0b01ac058004d5c3, December 2014.
Many-particle limit passage of interacting particle systems
Patrick van Meurs (金沢大学)
この講演の概要はPDFファイルで提供されています： Meurs-Sapporo.pdf
Deterministic detection of chaos in nonlinear dynamics and long-time prediction
松岡千博 (愛媛大学)
We present a novel method to capture chaotic orbits in nonlinear dynamics deterministically, taking the quadratic map as an example. To determine the long-time behavior of the dynamics, we calculate zeros of a function that represents the unstable manifold of the system by the Newton’s method. Using the obtained zeros, we visualize whole homoclinic points (homoclinic class) in which all physically meaningful events are confined. Our method is easily extendable to higher dimensional nonlinear dynamical systems.
単連結領域における Anomalous Localized Resonance について
安藤和典（愛媛大学）
負の誘電率を持つ非常に小さな物質に対して Anomalous Localized Resonance (ALR) と呼ばれる現象がMilton らによって発見され (1994, 2007)、電磁迷彩 (cloaking) などへの応用が期待されている。ALR の解析には主に quasi-static 近似と呼ばれる方法が用いられ、負の誘電率を持つ物質の形状として、今までは本質的に二次元のトーラス状の領域が考えられてきた。本講演では、 quasi-static 近似とノイマン-ポアンカレ作用素のスペクトル解析を用いて、二次元の単連結な楕円領域に対しても ALR が起こることを解説する。本研究は、韓国・仁荷大学のHyeonbae Kang 氏との共同研究である。
離散群と可積分系の構造類似性からオートマタ半群の分類理論へ
加藤毅（京都大学）
オートマタ群はこれまで離散群における重要な未解決問題，例えばMilnor予想の反例やBurnside群の構成などを解いてきた．一方で、無限可積分系において，KdV方程式の粗視化として箱玉系(BBS)とよばれるオートマトンがある．オートマタ群とBBSは，数学のテーマとしてお互いにかけ離れた分野であるにもかかわらず，どちらもMealyオートマトンとよばれるクラスで構成される．近年Zukと辻本との共同研究により，BBSとランプライターオートマタ群のスペクトル分布が完全に一致すること，さらにBBSのMarkov作用素が確率性を持つことが分かった．近年辻本は，BBSの持つ保存性と確率性という互いに異なる2つの性質に着目して，それらを満たすMealyオートマトンの分類を計算機を用いてはじめており，大規模サンプルから極めて少数のオートマトンを抽出することに成功している．
ここでは上で述べた内容について概説をする．
２階準線型常微分方程式の終局的正値解の漸近挙動
内藤学
ある２階準線型常微分方程式(Emden-Fowler 型と呼ばれている方程式を含む)の終局的正値解は無限遠方の増大 度によって (i) maximal なもの, (ii) minimal なもの, (iii) それらの中間的なものの3タイプに分類される. maximal な終局的正値解と minimal な終局的正値解の存在性は, それぞれ, 特徴付けられている(存在の必要十分条件が得られている)が, 中間的な増大度をもつ終局的正値解の存在性については未だ未解決な部分がある. 本講演では, 主に, 中間的な増大度をもつ終局的正値解の存在性や漸近挙動について講演者の最近の成果を交えながら述べる.
単独反応拡散方程式の局在解の挙動
柳田 英二（東京工業大学）
ある種の非線形系においては，単純な非線形性であってもきわめて複雑かつ不規則な挙動が見られる．一方，単独反応拡散方程式に対しては，適当な条件下では解の挙動は単純なものに限られることが知られている．本講演では，この条件をはずしたときの解のダイナミクスについて考察し，空間的に局在した解がきわめて複雑な挙動を示す例を構成するとともに，そのような挙動を生み出すメカニズムについて説明する．
On bell-shape property of distributions in class of infinitely divisible distributions on \mathbb{R} and applications
山里 眞（東京女子大学）
この講演の概要はPDFファイルで提供されています： bell-shape-abstract-ehime.pdf
value-at-riskに関するポートフォリオ戦略を伴う最適決定過程について（On a decision process with portfolios for value-at-risk）
吉田 祐治（北九州市立大学経済学部）
数理ファイナンスにおける動的決定過程で、リスク評価基準としてvalue-at-risk を考え、これを最適にするポートフォリオ戦略について論じる。 この数理モデルについて動的計画法を用いて最適方程式を導き、最適解を構成する。また、このモデルの様々な数理的性質について説明する。 （スライド：英語、 発表：日本語）
平面曲線の定義方程式にまつわる整数論的問題について
伊藤 哲史（京都大学）
複素数体上において，滑らかな 3 次曲線が別の 3 次曲線の Hessianとして表されることや，滑らかな 4 次曲線が線形形式成分の対称行列の行列式で表されることが古典的に知られています．この講演では，平面曲線の定義方程式に関する古典的結果を概観した後，こうした問題を代数閉とは限らない体上で考えることによって生じる整数論的な問題を紹介します．また，標数 2 の大域体に特有の現象や，標数 2 ならではの困難についても紹介したいと思います． （石塚裕大氏（京大理）との共同研究）
動く境界を含む現象の解析 (Analysis of phenomena with moving boundaries)
Karel Svadlenka（京都大学理学部）
滑り落ちる液滴や弾むゴムボールなど，自由境界を含む発展問題で記述される現象をいくつか紹介し，それらを解析し数値計算する上でのここ数年間の試みと今後の展望について述べる．特に，放物型と双曲型の問題とそれらのベクトル値バージョンに着目し，時間を離散化することによるアプローチの概要を説明する． (スライド：英語，発表：日本語)
足し算と掛け算の多項式表示について
縫田光司（産業技術総合研究所／JSTさきがけ）
pを素数として、非負整数のp進数表示の各桁を表す0からp-1までの数字をp元素体の要素と自然に同一視する。このとき、整数の足し算や掛け算における繰り上がり値は、計算前の値の各桁の数字を入力として、p元素体上の多変数関数となる。一般論により、こうしたp元素体上のあらゆる多変数関数は何らかの多項式によって表せることが知られているが、具体的に与えられた関数のクラスについてそうした多項式をできるだけ簡単な形で表すことは決して自明ではない。本発表では、前述の繰り上がり値の場合について、ベルヌーイ数を用いた上記多項式の具体的記述を与えるとともに、繰り上がりの多項式表示と暗号理論との関わりを紹介する。なお、本発表の内容は、鍛冶静雄氏（山口大学）、沼田泰英氏（信州大学）、前野俊昭氏（名城大学）との共同研究に基づくものである。
アソシエーションスキームの商についてのDelsarte理論
奥田 隆幸（広島大学大学院理学研究科）
アソシエーションスキームとは有限集合上に一般化された距離構造を定め, その構造がある種の対称性を満たしているというものである. 特にアソシエーションスキーム上では調和解析が展開され, これを統制しているのがBose-Mesner代数である. 本講演ではアソシエーションスキーム \(X\) の商集合 \(Y\) を考えたとき,
の三つの間の関係について得られた定理を紹介する.
頂点作用素代数の量子次元
安部利之 (愛媛大学教育学部)
頂点作用素代数の表現論において、既約加群の分類とフュージョン則の決定は基本的な問題である。具体的な模型についてそれを実行することは大変な計算が必要であるが、近年オービフォールド模型と呼ばれる有限自己同型の固定点として得られる頂 点作用素代数に関するこれらの問題について、量子次元を用いた考察が非常に効果的に用いられている。そこで本講演では量子次元の定義や諸性質及びモジュラー不変性、フュージョン則との関連について解説したい。また量子次元導入の目的の一つであるガロア理論の類似についても紹介したい。
計算幾何学と精度保証付き数値計算
尾崎克久 (芝浦工業大学システム理工学部数理科学科)
計算幾何学のアルゴリズムは，内部で行われる計算がすべて正しいと仮定して設計されているものが多い． もし，アルゴリズム内部で数値計算が使用される場合，数値誤差の影響でアルゴリズムが正しく動作しない可能性がある． そのため，誤差対策アルゴリズムなどが考えられてきた． 本講演では，精度保証付き数値計算がこの問題にどのように貢献できるかを紹介したい． 具体的には，計算値の符号が正しいことを高速に保証する浮動小数点フィルタ，正しい符号を高速に得る手法，精度保証を活かしたアルゴリズム設計などについて紹介をする．
ブロック・イデアルのソース多元環の加群構造
佐々木洋城（信州大学）
有限群の群環を直既約な両側イデアルの直和に分解したときの直和因子をブロック・イデアルまたはブロック多元環と呼ぶ。群環上の直既約加群は一つのしかもただ一つのブロック多元環によって零化されない。ブロック多元環ごとに加群を分析することが課題である。さて、ブロック多元環にはソース多元環という別の多元環が付随する。ソース多元環とブロック多元環は森田同値であり、原理的にはソース多元環の情報からブロック多元環が復元できる（ハズである）。しかし、現実にはそうは簡単ではなく、様々な困難があり、ソース多元環の加群としての構造さえ不明なのである。今回はその加群構造についての新発見の定理を紹介したい。
エネルギー勾配によるき裂進展モデル
高石武史 (広島国際学院大学)
破壊現象は工学的には古くから研究が進められてきた分野であり，き裂進展に伴う数値計算手法なども多く開発されてきた．一方で，数学的に明らかになっている部分は少ないままであったが，近年，フェーズフィールドを用いて，き裂の進展をエネルギー変分から解明しようとする研究が増えてきている．講演者と木村氏（金沢大）はフェーズフィールドを用いたき裂モデルからエネルギー勾配流の時間発展方程式を導出し，様々なき裂進展現象が再現できることを検証してきた．本講演では，エネルギーから見たき裂進展現象の基本性質と，この数理モデルの特性について述べる．
時系列がんリスク視覚化のための数理モデル
加茂憲一 (札幌医科大学)
「がん」の動向に対して適切な数理的手法を用いた評価を行うことは、がん対策の根幹となる重要な情報となり得る。がんの時系列の動向は様々な要因の影響を受けた複雑なものであり、その解析方法についても様々な種類が存在する。しかし、まず解析の初期段階において必要かつ重要なのは、その大まかな特徴を的確に捉えることにより、今後のモデル構築の方針を決定することである。そのためには特性の視覚化が効果的であるが、通常の表現方法では難しい。そこで本研究においては、がんリスクに対して年齢と時代を基底とするリスク曲面という概念を用いた表現法を提案する。その際には年齢と時代を仮想的な番地、リスクの高低を標高とみなし、地理解析で用いられる手法を取り入れることによる表現法が有効であった。日本において特徴的な肝臓がんの事例を用いてがんリスクの視覚化を紹介する。
The von Neumann kernel of a topological group under the looking glass of Zariski topology
ディクラニアン ディクラン (JSPS外国人特別研究員, イタリア・ウディネ大学)
The talk will discuss the relation of the von Neumann kernel of a topological group to the Zariski topology of the underlying abstract group and the recent solution (jointly with D. Shakhmatov) of problems posed by Comfort-Protasov-Remus (on minimally almost periodic group topologies), by Gariyelyan (on the realization of von Neumann kernel of an abelian group) and by Franklin Gould (on the three-space property related to minimal almost periodicity).
空間の距離化定理とフラクタル次元
加藤久男 (筑波大学数理物質系)
空間の距離化定理としては、開被覆の正規列を用いるAlexandroff-Urysohn metrization theoremがよく知られている。ここでは、この距離化定理を用いて距離を色々変化させ、その距離によって定まるフラクタル次元がどう変化するか考察する。特に、箱次元を取り扱う。
回転数とモジュラー群の円周への作用
松田能文 (青山学院大学理工学部)
円周の向きを保つ二つの同相写像が半共役であることとそれらの回転数が等し いこととの同値性はポアンカレにより1880年代に示されている. 群の円周への向きを 保つ作用の半共役類は全ての元の回転数だけでは一般には決定されない. だが, 二つ の有限巡回群の自由積に対して, 2次元軌道体の双曲構造により誘導されるいくつか の作用の半共役類が二つの因子の生成元及びそれらの積, という三つの元の回転数に より決定されることが確かめられた. この結果は, 階数2の自由群の2次元特殊線型群 SL(2,R)への既約表現の同型類が各因子の生成元およびそれらの積, という三つの元 のトレースにより決定される, という回転数が発見される前の1870年頃からフリッケ らにより知られている古典的結果の円周の向きを保つ同相群に対する類似とみなせ る. この講演では上の結果を位数2の巡回群と位数3の巡回群の自由積であるモジュ ラー群PSL(2,Z)の場合を中心に紹介する.
半線形熱方程式の解の存在，非存在，一意性について
猪奥 倫左（愛媛大学大学院理工学研究科）
冪乗型の非線形項を持つ半線形熱方程式に対する解の存在・非存在および一意性は, 初期値の可積分性によって分類が行われ, Weisslerによって存在性の臨界値が， Brezis-Cazenaveによって一意性の臨界値が与えられた． 本講演では, 二次元空間において初期値が二重に臨界条件を満たす場合は, 先行研究の枠組み(Lebesgue空間)にて考察できない事を概説し, 指数可積分性を満たす空間を設定することで解の存在，非存在，一意性について議論する． 本講演はB. Ruf氏(Milano Univ.)およびE. Terraneo氏(Milano Univ.)との共同研究に基づく.
岩澤主予想の精密化とEuler系について
大下 達也 (愛媛大学大学院理工学研究科)
Euler系は余制限（ノルム）写像に関してある種の整合性を持つGaloisコホモロジー類の系列であり，代表的な例として，円単数やBeilinson-加藤元などが知られています．
このような系列はSelmer群（例えば，イデアル類群）の構造に関する深い情報を握っており，今日の整数論，特に岩澤理論の研究における強力な道具立ての1つとなっています．
本講演では，Euler系から定まるKolyvain導分と呼ばれるGaloisコホモロジー類を用いて，岩澤主予想で記述される「特性イデアル」よりも深い情報をもつ「高次Fittingイデアル」という不変量の評価を行うことで，岩澤主予想の精密化を試みます．
2点境界値問題の正値解の対称性の破れとモース指数
田中 敏 (岡山理科大学)
2点境界値問題の正値解の存在・非存在に関してこれまで膨大な結果が得られている一方で、その一意性を調べることは、問題が単純な形であっても非常な困難を伴うことが多い。本講演では、正値解のモース指数を調べることでその対称性の破れを発見し、それにより、正値解の非一意性が導かれることを紹介したい。
種数２のSiegelモジュラー多様体の幾何
織田 孝幸（東京大学）
種数２のジーゲルモジュラー多様体のコホモロジーと、関連する保型形式に関して、「古典的な」基礎的な事実を概観したのち、ここ20年くらいの自分の研究や、最近の研究（自他含めて）の簡単な紹介をする。そこでは幾何と解析と代数が密接に関連するが、その「曼陀羅世界」を少しでも感じてもらえることが希望である。
精度保証付き数値計算による流れの安定性解析
渡部 善隆（九州大学）
精度保証付き数値計算とは，与えられた数学上の問題に対し，その解の存在範囲もしくは一意存在の範囲を，計算機を用いて数学的な意味で厳密に特定する算法のことです．この発表では，流れの安定性を記述するOrr-Sommerfeld方程式に対する精度保証付き数値計算の適用例を紹介します．
双曲Coxeter群のgrowthとその数論的性質について
梅本 悠莉子 (大阪市立大学数学研究所)
双曲Coxeter群とは、双曲空間におけるCoxeter多面体の余次元1の面に関する鏡映変換で生成される群であり、この多面体を基本領域に持つ等長変換群の離散的部分群となることが知られている。本講演では、双曲Coxeter群の標準的な生成系に対するgrowth function, growth rateの結果を述べる。特に、growth rateとして特殊な代数的整数が現れることについて、既存の結果や講演者の結果を用いて説明したい。
\(C_0\) coarse structures on uniform spaces
山内貴光 (愛媛大学大学院理工学研究科)
Weil (1938)によって導入された一様空間は, 距離の持つ"近さを測るための尺度"を一般化した空間概念であるといえます. 一方, Coarse geometryでは, 離れ方が有限である対象は同じとみなすため, 距離のもつ"遠さを測るための尺度"が重要となります. Higson, Pedersen, Roe (1997)は, この遠さを測るための尺度の一般化として, coarse structureを導入しました.
本発表では, よく知られたcoarse structuresとそれらの関係について紹介します. また, Wright (2003) によって導入された距離空間上の\(C_0\) coarsestructureの概念を一様空間上へ自然に拡張することにより, コンパクト化によって定まるtopological coarse structure が, ある一様構造から定まる\(C_0\) coarse structureとして表せることを紹介します. なお, 本研究は嶺幸太郎氏(東京大学)と山下温氏(千葉工業大学)との共同研究によるものです．
凖同型暗号とその応用、および関連する数学的問題
縫田光司 (産業技術総合研究所)
凖同型暗号とは、データの内容を第三者に対して秘匿しつつ、そのデータに 対する何らかの演算（加算、乗算、…）を行うことは誰でも可能となるような 暗号技術である。この発表では、凖同型暗号の実例やプライバシー保護 データ検索などの応用例を紹介するとともに、話者が最近行っている 凖同型暗号の研究に関連する数学的問題について述べる。
Existence of solutions for quasilinear elliptic equations including p(x)-Laplacian and degeneracy via variational methods
Inbo Sim (University of Ulsan, Korea)
We will discuss the existence of solutions for the elliptic equation with \(p(x)\)-Laplace operator on the bounded domain with Lipschitz boundary. Adopting suitable variational methods according to growths between the main operator term and nonlinear term, we obtain the existence of solutions for the equation.
This talk is based on joint works with Ky Ho.
Positive radial solutions for elliptic equations with nonlinear boundary conditions
Eun Kyoung Lee (Pusan National University, Korea)
The problem for the positive radial solution of the steady state reaction diffusion equation on an exterior domain with a nonlinear boundary condition on the interior boundary can be translated to positive solutions of the two point boundary value problem with nonlinear boundary condition at one boundary point. In this talk, I introduce some results for the existence and multiplicity results via the method of sub-super solutions and also discuss some uniqueness results.
線形無限次元系の安定化：解析半群から \(C_0\)-半群へ
南部 隆夫（神戸大学システム情報学研究科)
解析半群を生成し，対応する Riesz基底の存在を必ずしも仮定しない広範な線形無限次元系に対する安定化の標準理論 (state of the art) について解説する：すなわち，観測器に対する可観測性と制御器に対する可制御性のみを仮定して，安定化を実現する．その枠組みをさらに，あるクラスの \(C_0\)-半群を生成する系にまで拡張する．
円環水路上の樟脳船の集団運動に現れる渋滞現象
池田 幸太（明治大学 先端数理科学研究科）
粒状に固められた樟脳を水面に浮かべると、自発的に動き出す場合がある。これは、樟脳から水面に展開される樟脳膜によって表面張力が低下することと、樟脳膜の濃度が昇華によって低下することが原因であると考えられている。実は、樟脳粒が環状の水路に多数存在する場合を考えると、全ての樟脳粒が一定速度で進行する状態（一様流と呼ぶ）が不安定化し、密度差を伴った集団運動が観測される（非一様流と呼ぶ）。この現象は樟脳粒に関する運動方程式と、樟脳膜に関する反応拡散方程式によって既にモデル化されており、数値計算によって樟脳粒の運動や非一様流の存在が確認されている。一方で解析的な研究は十分でなく、一様流の不安定化を示すのは困難である。そこで本研究では中心多様体論を用い、モデル方程式を解析が比較的容易な常微分方程式に縮約する。縮約モデルにおける進行波解の安定性解析を通じて、樟脳の集団運動に密度差が生じる原因を特定する。
常微分方程式の解の爆発に関する逆問題
宇佐美 広介（岐阜大学工学部）
優線形な非線形項を持つあるクラスの２階常微分方程式の初期値問題を考える。初期値をパラメータとして考える。優線形性により任意の解はパラメータ（および非線形項）に依存した有限時刻で爆発することがわかる。この関係を逆にして爆発時刻をパラメータの関数としてあらかじめ与えて、それを実現する非線形項を探すという問題を考察する。また、このような爆発する解の応用についても触れる。
べき等左半環と多重関係
古澤 仁（鹿児島大学理工学研究科（理学系））
加法がべき等であるような半環をべき等半環とよぶ．ある集合上の二項関係全体は和と合成とともにべき等半環をなす．べき等半環の条件を弱め，乗法が単調でありかつ左零元と左加法のみを保存することにしたものをべき等左半環とよぶ．また，ある集合とそのべき集合の直積の部分集合を多重関係とよぶ．この講演では，べき等左半環と多重関係の関連性について述べる．
Dirac型作用素の摂動と指数の局所化
藤田玄（日本女子大学理学部）
多様体の不変量がある種の幾何構造のもとで適当な部分集合に局所化するという現象がいくつか知られています。よく知られているものとして群作用がある状況でのLefschetz固定点公式があります。また、Poincare-Hopfの定理はEuler数がベクトル場の零点へ局所化することを意味します。これらの現象は、Witten deformationとよばれるDirac型作用素の摂動とその解析的指数の局所化として理解できることが知られています。
シンプレクティック多様体の不変量にRiemann-Roch数とよばれるものがあります。シンプレクティック多様体がLagrangian ファイブレーションの構造をもつ場合、その不変量がBohr-Sommerfeldファイバーとよばれる特別なファイバーに局所化することが多くの例で観察されています。本講演では、その局所化現象をWitten deformationのある種の拡張として理解する枠組みを説明したいと思います。本講演の内容は古田幹雄氏(東大数理)と吉田尚彦氏(明治理工)との共同研究に基づきます。
ある種の超曲面と有限体上の超幾何函数
宮谷和尭（広島大学理学部）
超幾何函数 \({}_2F_1(1/2,1/2;1;\lambda)\) は，Picard-Fuchs 方程式を通じて複素楕円曲線と深くかかわっています．一方，Greene と Katz によって独立に導入された「有限体上の超幾何函数」のうちこれに対応するパラメータをもつものは，有限体上の楕円曲線のゼータ函数として現れることが知られています．この講演では，まず古典的な超幾何函数について復習したのち，有限体上の超幾何函数を導入し，古典的な場合との類似を紹介します．また，講演者が得た高次元の超曲面と有限体上の超幾何函数との関係に関する最新の結果についてもお話しします．
The intermediate vertex subalgebras of the lattice vertex operator algebras
川節和哉 (東京大学大学院数理科学研究科)
本講演では, 格子頂点作用素代数のある種の頂点部分代数（中間頂点部分代数）についてお話します. 特に今回お話するのは, \(E_8\) ルート格子に付随する格子頂点作用素代数の, ある中間頂点部分代数 \(V_{E_{7+1/2}}\) についてです. Mathur, Mukhi, Sen や Kaneko, Koike の研究に出てくる, モジュラー不変なある微分方程式について, その解空間と, \(V_{E_{7+1/2}}\) の（表現の）指標の張る空間とが一致することを示します. Deligne の例外系列の“穴”をある中間リー代数によって埋めた, Landsberg と Manivel の研究がありますが, これはその頂点代数の理論におけるアナロジーです.
部分双曲型力学系の大偏差原理
鷲見直哉（熊本大学大学院自然科学研究科）
ほとんど全ての初期点に対して軌道の極限的な振る舞いが等しい力学系を，エルゴード的な力学系であるという．このような時，軌道の振る舞いが標準から"ずれている"ような初期点全体の測度は，時間の増大と共に減衰していく．この減衰速度を表示するのが，大偏差原理である． 双曲型力学系では，減衰速度を不変測度のエントロピーとリャプノフ指数を用いて表せることが知られている．本講演では，部分双曲型力学系に対する大偏差原理の構築を目指す．
交代群におけるインボリューションの個数に関する 2-進的性質
竹ヶ原裕元（室蘭工業大学大学院工学研究科）
p-進整数環から対称群への準同型の個数に関する指数型母関数は アルティン・ハッセ指数関数として知られている．その p-進的性質を用いて、 有限アーベル p 群から対称群への準同型の個数に関する指数型母関数の p-進的性質が示される．さらに，準同型の個数自身に関する p-進的性質 も知られている．セミナーでは、最近の結果として、交代群における インボリューションの個数に関する 2-進的性質の解説をする．また， B 型ワイル群や位数 2 の巡回群の対称群による環積の場合にも，類似の性質を 述べる
代数曲面を利用した公開鍵暗号（代数曲面暗号）の紹介
秋山浩一郎（（株）東芝 研究開発センター ）
公開鍵暗号は計算困難性な数学的な問題が安全性（解読困難性）の根拠となるように構成される。広く利用されているRSA暗号や楕円曲線暗号は、それぞれ自然数の素因数分解問題、楕円曲線上の点の加法群の離散対数問題の計算困難性に安全性の根拠をおいている。しかし、これらの問題は量子計算機ができると効率的に解かれることが知られており、これに備えて量子計算機でも解読困難となる公開鍵暗号（耐量子公開鍵暗号）の研究が進められている。今回は、このような耐量子公開鍵暗号の中で代数曲面上のセクションを求める問題（求セクション問題）に安全性の根拠をおく代数曲面暗号を紹介する。
本研究は北海道教育大学後藤泰宏氏との共同研究である。
旗多様体の同変コホモロジー
鍛冶 静雄（山口大学理工学研究科）
グラスマン多様体や旗多様体のコホモロジー環は、ヤング盤や対称多項式といった対象を通して組合わせ論的に記述できる。特に統一的で簡明な記述は、コクセター群のハッセ図を用いたGKM表示と呼ばれるものであるが、これは常コホモロジー環だけでなく、代数的にはそれを係数拡大した同変コホモロジー環を記述している。トーラス作用を持つ多様体においてはしばしば、その作用まで込めてより詳細な視点で考えることで、統一的でシンプルな記述を得られることがある。この同変トポロジーにおける基本的な見方を、旗多様体を例にとって概観し、応用として講演者による"二重シューベルト多項式"の定義を紹介したい。
非線形力学系の大域的性質を鑑みたカオス制御の試み
上田 哲史（徳島大学情報化推進センター長）
カオスアトラクタに埋め込まれた不安定周期軌道を安定化する問題をカオス制御といい，この20年で提案された関連する多くの手法は，その数理的原理から周期点近傍の局所領域における線形制御理論と捉えられがちであった．われわれは，非線形力学系が本来もつ大域的性質を積極利用した不安定周期軌道の安定化および疑似周期軌道の埋め込みなど提案している．本発表では提案の概要といくつかの実験結果について述べる．
Metric measure geometry for high-dimensional spaces
塩谷 隆（東北大学大学院理学研究科）
従来のリーマン多様体の収束理論においては、次元が上に有界であることを仮定して、リーマン多様体の列の収束とその極限について研究されてきた。一方、Gromovは次元が無限大へ発散する場合に有効な新しい収束の概念を提唱した。本講演では、その収束の新しい例を紹介し、またGromovの収束の応用についてお話しする。
回転対称な確率測度の等周不等式
高津飛鳥（名古屋大学多元数理科学研究科）
等周不等式とは集合の測度と周長を比べる不等式である。本講演ではルベーグ測度に対して絶対連続であるユークリッド空間上の回転対称な確率測度に対する等周不等式を評価する。鍵は「ポアンカレ極限」なる球面上の一様分布を用いたガウス測度の近似の一般化である。
グラフのゼータ関数とその行列式表示
佐藤 巌（小山工業高等専門学校）
グラフ理論の立場で，グラフの構造を直接反映するedge matrixや隣接行列による，グラフのゼータ関数の行列式表示について述べる．グラフのIharaゼータ関数，weightedゼータ関数の一般化，及び，グラフの一般化であるdigraphを対象としたMaster Theoremを探し，さらに，その``隣接行列"による行列式表示を与える．これによって、既存のほぼ全てのゼータ関数が一括して表示されることを示す．
頂点作用素代数の指標のモジュラー不変性について
講演者: 有家 雄介（筑波大学数理物質系数学域）
Zhuはある種の有限性条件と，半単純性条件を課すと頂点作用素代数の既約表現の指標の張る空間が \(SL_2(\mathbf{Z})\) の作用で閉じていることを証明しました．さらに，宮本雅彦氏により，この結果は半単純性のない場合にも一般化されています．これらの結果の大本にあるのは，トーラス上の一点関数と呼ばれるものの空間です．本講演ではこの一点関数がどのように表現の指標と関係するかを述べ，さらに半単純性をみたさないある頂点作用素代数について，一点関数をどのように構成するかを説明したいと思います．
ランダム群の \(L^p\) 空間に対する固定点性質
井関 裕靖（慶應義塾大学理工学部）
離散群が非自明に作用する空間が非常に限定的であるとき、その離散群は剛性をもつと言われる. Gromovの意味での双曲群は、一般にはあまり強い剛性をもたない。しかし、最近の種々の研究から、ある状況の下では、双曲群に対しても十分に強い剛性をを期待できることがわかってきている。この講演では、その一例となるプレイン・ワード・モデルのランダム群の \(L^p\) 空間に対する固定点性質について述べる。
この研究は Marc Bourdon 氏(Lille 大学)との共同研究である。
無限Coxeter群の漸近的振る舞いについて
嶺山良介（大阪大学大学院理学研究科）
Coxeter群はEuclid空間上のある種の鏡映変換として幾何学的に実現される群で，その重要な例の一つとしてWeyl群を持つ．この群を調べるにはルートと呼ばれる，鏡映の軸であるベクトルの軌道が重要な役割を果たす．特に有限群である場合，Coxeter群はこの振る舞いによって完全に分類される．ところが無限群の場合はその解析が容易ではないことが知られている．今回の講演では，無限群の場合においてルートを正規化した集合の集積点集合を調べるという試みについて述べる．
これは大阪大学の東谷章弘氏，北海道大学の中島規博氏との共同研究である．
順序数の超空間の位相的性質について
家本 宣幸（大分大学教育学部）
空間 \(X\) に対し, \(\mathbf{2}^X = \{F \subset X\,:\,F~\)is non-empty closed. \(\}\), \(\mathcal{K}(X) = \{F \subset X\,:\,F~\)is non-empty compact.\(\}\) とおく。\(X\) の有限開集合族 \(\mathcal{V}\) に対し、\(\langle\mathcal{V}\rangle =\{\,F\in\mathbf{2}^X\,:\,F\subset\bigcup \mathcal{V}\,;\;\forall V\in\mathcal{V}(V ∩ F\neq \emptyset)\,\}\) とおい て、\(\mathbf{2}^X\) 上の Vietoris 位相 \(\tau_\mathrm{V}\) とは、族 \[ \big\{\,\langle\mathcal{V}\rangle\,:\,\mathcal{V}\text{ is a finite collection of open sets in }X.\,\big\} \] を開基とする位相を意味する。すると \(\mathcal{K}(X)\) には \(\mathbf{2}^X\) 上のVietoris 位相 \(\tau_\mathrm{V}\) の部分空間としての位相が自然に導入できる。これらを一般的に超空間(hyperspace)と言う。
この談話会では、\(X\) が順序数の場合の \(\mathbf{2}^X\) や \(\mathcal{K}(X)\) 等の超空間の位相的性質について、最近わかった事柄について述べたいと思います。
複素領域の境界上における直交多項式展開
村重 淳（公立はこだて未来大学）
複素平面上の滑らかな Jordan 閉曲線で囲まれた領域で正則な複素関数の級数展開と，その収束性について考える．特に，領域の境界上で直交化した多項式系による級数展開の収束性は，ベキ級数の収束円の考え方を一般化した収束レムニスケートを用いて定量的に評価できることを示す．
本研究は，田中健一郎氏（公立はこだて未来大学）との共同研究である．
ルベーグ測度に関して絶対連続な不変測度のエルゴード性について
鷲見 直哉（東京工業大学大学院 理工学研究科数学専攻）
力学系の不変測度がエルゴード性をもつとは，ほとんど全ての初期点に対 してそれらの軌道の極限的な振る舞いが点に依らず等しい時をいう． 一般に，不変測度のエルゴード性の判定は非常に難しいことが多い． しかし，微分同相写像による力学系の不変測度がルベーグ測度に関して絶対連続 である場合には，安定多様体・不安定多様体を用いたHopfによる議論が知られて いる．
本講演では，Hopfによる議論の一般化を用いた，ルベーグ測度に絶対連続な不変 測度に対するエルゴード性の判定条件について紹介する．
本研究は，平山至大氏(九州工業大)との共同研究である．
A quasilinear parabolic perturbation of the linear heat equation
滝本 和広（広島大学大学院理学研究科）
In this talk, we are concerned with the dynamics of the quasilinearperturbation, through the mean curvature flow operator, of theclassical linear heat equation. The mean curvature has the effect ofmaintaining bounded all classical positive steady states of the model,though their gradient may blow-up somewhere.
This is a joint work with S.Cano-Casanova (Comillas University) and J. López-Gómez (Complutense University).
Asymptotic self-similarity in semilinear elliptic equations
Soohyun Bae（Hanbat National University, Korea）
Scale invariance in semilinear elliptic equations plays importantroles in studying solution structure. It is natural to look for aself-similar solution which is invariant under the scaling.In general, asymptotic self-similarity is a useful viewpoint tounderstand the existence and the asymptotic behavior of solutions.In this talk I give a survey on the subject and discuss related topics.
非線型Schrödinger方程式(NLS)の解の適切性の臨界空間
小川 卓克（東北大学大学院理学研究科）
非線型Schrödinger方程式あるいはその連立系の解が時間局所的に適切でなくなる臨界空間を検討する．もっとも簡単な1，2次元2乗べきのNLSに対する時間局所適切性が，空間次元に応じて，ちょうどスケール臨界となる空間で破綻する場合(2次元)とスケール臨界より狭いところで破綻する場合(1次元)の場合の違いを比較し，そのように異なる原因を述べる．発展として連立2次元，2乗べきNLSの時間局所適切性の可能性について言及する．
Rudvalis群について
千吉良 直紀（熊本大学大学院自然科学研究科）
26個ある散在型有限単純群のうちの1つであるラドヴァリス群はモンスター単純群に含まれない6個の散在型のうちの1つである。この群を構成するために必要な格子、デザイン、グラフなどの組合せ構造の間の関係をラドヴァリス群の部分群の１つである \(U_3(3)\) を用いて解説する。
ある関数体上の楕円曲線の整点のマシュー群を用いた数え上げ
大橋 久範（東京理科大学理工学部数学科）
楕円曲線の有理点の集合は有限生成アーベル群で、整点の集合は有限集合になる。楕円曲線が有理数体上定義されている場合にこれらを計算するためのアルゴリズムはいろいろ実装されているが、理論的に完全なものはまだ見つかっていない。一方、一変数代数関数体上の楕円曲線はそのまま代数曲面（二次元の代数多様体）とみなすことができ、こちらの場合には曲面の不変量を用いてこれらの集合がより統一的な観点から計算できる可能性がある。曲面のオイラー数が一番小さい場合にはモーデルヴェイユ群の分類が小木曽・塩田によって得られている。この講演ではオイラー数が次に小さい場合を考え、最も性質の良い場合に整点の数え上げが散在型単純群であるマシュー群と関連付けられることを説明したい。
表現論から見たα行列式
木本 一史 (琉球大学理学部数理科学科)
α行列式は、行列式とパーマネントを補間するような多項式のパラメタ族です。そもそもは確率論的な問題の中で登場した概念なのですが、行列式とパーマネントから離れたときの表現論的な性質の変化を追跡する（α行列式が生成する巡回 \(U(\mathfrak{gl}_n)\)-加群の構造を決定する）という松本詔・若山正人の研究を出発点にして、表現論から見たα行列式の研究が始まりました。本講演ではこれまでの研究の流れについて概説し、そこから派生する問題や今後の展望についてお話しできればと思います。
非線形波動方程式に対する離散微分形式によるエネルギー保存型数値解法
谷口隆晴（神戸大学大学院システム情報学研究科）
何らかの構造を持った偏微分方程式を数値的に解く際には，その構造を保つように数値計算法を設計すると安定性などにおいて優れたスキームが得られることが多い．本講演では，非線形波動方程式に対し，方程式を定めるラグランジアン密度の時間並進不変性を利用し，離散版のエネルギー保存則とそれを保つ数値解法を導出する方法を紹介する．また，この方法と離散微分形式の組み合わせによる，三角形メッシュの利用法や２次元多様体上の方程式への応用についても紹介する．特に，後者の例として，球面上の数値計算例を示す．
非自励２種 Lotka-Volterra 競争系のある種の大域的漸近安定性
宇佐美 広介（岐阜大学工学部）
古典的な定係数２種 Lotka-Volterra 競争系において解が大域的漸近安定性を持つための必要十分条件はよく知られている．本講演では時変係数と一般的な内部競争項・相互作用項をもつ２生物種の競争系において解がある意味での大域的漸近安定性をもつための十分条件を与える．これらの結果は前述の古典的な結果の一般化を与えている．なお，本研究は広島大学大学院理学研究科の谷口公仁彦氏との共同研究の一環である．
対称群とヘッケ環のLascoux-Leclerc-Thibon-Ariki型理論について
榎本 直也（京都大学理学研究科数学教室）
Lascoux-Leclerc-Thibon-Ariki（LLTA）理論とは、対称群やその量子化であるヘッケ環の（モジュラー）表現論と、（無限次元）リー環やその量子化である量子展開環の表現論とを結びつける理論です。本講演では、対称群の複素数体上の有限次元表現論を概観することからはじめ、その表現環上に無限次元リー環の“対称性”があることを紹介します。次に、係数体を正標数へ移します。すると、表現の完全可約性が崩れて既約表現の直和で表すことができなくなります。このとき、モジュラー分岐則と呼ばれる表現の分岐の中に、柏原正樹による量子展開環の結晶グラフが現れることを見ます。これらのことを手がかりに、LLTTA理論の枠組みを紹介し、時間が許せば、アフィンヘッケ環におけるLLTA理論についてさらに詳し述べたいと思います。
Variational inequalities in the optimal dividend and riskcontrol problem
森本宏明（愛媛大学・名誉教授）
企業の配当支払とriskに関する最適化問題をdiffusion modelについて考察する. 対応する変分不等式はgradient constraintをもつ非線形elliptic typeで与えられる. 粘性解の手法を用いて, 関連するpenalty方程式を解き, その極限として変分不等式の古典解が存在することを示す. 変分不等式の freeboundary に反射壁をもつdiffusion processとrisk exposureによって 最適政策が構成される.
An area minimizing scheme for anisotropic mean curvature flow
石井克幸（神戸大学）
平均曲率流に対する近似問題は多くの研究がある。Chambolle 氏は 2004年に、面積汎関数の最小化問題に関連する変分問題を用いた近似スキーム を提案し、その収束を \(L^1\) の意味で示した。本講演では Chambolle 氏のスキームを非等方的な場合に拡張し、その収束について紹介する。本講演の内容は江藤徳宏氏、儀我美一氏との共同研究に基づく。
付着・剥離・衝突現象の数理
小俣正朗（金沢大学）
水面上の泡や油滴の運動など自由境界が現れる現象のダイナミックスを調べる。また、ボールなどの平面への衝突についても解析する。これらの現象は、体積保存条件など大域的な制約も要請される。本講演は、特に数値計算方法の開発の立場から行う。
A BMO-type algorithm for volume-preserving curvature-driven flows
Elliott Ginder（金沢大学）
In 1992, Bence, Merriman, and Osher formulated the well-known BMOalgorithm for approximating multiphase motion by mean curvature. We showhow their algorithm can be reformulated as a thresholding procedureapplied to a vector-valued heat equation, and how this approach allowsone to constrain the volume of each phase.
We will also discuss computational aspects of our algorithm. We findthat, by detecting the precise location of each interface, functionalvalues can be precisely computed by means of a specialrepartitioning--this is found to alleviate the common time and gridspace restrictions that accompany the BMO. This finding is related tothe recent signed distance function approach of Esedoglu, Ruuth, andTsai, and we touch on the formulation of our method in this light.
移流拡散方程式の解の漸近形の特殊な場合について
山本 征法（弘前大学理工学研究科）
半導体デバイスのシミュレーションに由来する数理モデルとして，移流拡散方程式とよばれる半線形の拡散方程式が知られている．ここでは，全空間における移流拡散方程式の初期値問題について，解の時間大域挙動を考える．特に，時間パラメーター無限大での解の漸近形を導出し，その特殊な例として，剰余項の評価が見掛け上無限大となる場合について述べる．
特性曲線法に基づくスキームによる流体計算
野津 裕史（早稲田大学高等研究所）
特性曲線法は流体粒子の軌跡を考え，その軌跡に沿って物質微分項を離散化する手法である．同法は，現れる連立一次方程式の係数行列が対称という利点を持ち，流れ問題において強力な手法である．本講演では，同法と有限要素法を組み合わせた特性曲線有限要素法を中心に考える．特に，実践的な部分にも時間をかける予定である．
三角形要素上の補間誤差定数について
小林 健太（一橋大学商学研究科）
補間誤差の見積もりは近似理論における興味深い研究対象の一つであり、さらに、有限要素法の誤差評価への応用上も重要である。補間誤差を評価するには、ある種のノルム不等式に現れる定数をいかに精密に評価するかが重要となる。この定数を補間誤差定数という。
講演では、特に三角形要素上の補間誤差定数について、既存の結果および我々によって得られた精密な評価について説明する。
軌道同型理論における剛性定理について
木田 良才（京都大学大学院理学研究科）
離散群による確率測度空間への保測作用が二つ与えられたとき, その二つの作用が軌道同型であるとは, 測度空間の間の同型写像で軌道を保存するものが存在するときをいう. 軌道同型の問題は, 1950 年代の Dye による仕事以降, von Neumann 環の理論との密接な関係を保ちながら, 多くの研究者によって研究されてきた. 最近の研究では, 群作用の情報が軌道空間から復元可能となる状況が数多く発見されてきている. このようは主張は剛性定理と呼ばれる.本講演では, 軌道同型の研究の歴史的背景から始めて, 曲面の写像類群の作用に関する剛性定理を紹介したい.
On functions with monotone graphs
Tamàs Màtrai
A metric space \((X,d)\) is called monotone if there is a linear order \(\leq\) on \(X\) and a constant \(c\) such that for all \(x,y,z \in X\) satisfying \(x \leq y \leq z\) we have \(d(x,y) \leq c\cdot d(x,z)\). This simple notion, invented by Ondřej Zindulka, turns out to be a quite powerful tool for the study of differentiability of real functions, and for analyzing mapping properties of quasi-Lipschitz functions. In this talk, based on a joint work with Ondřej Zindulka and many others, I would like to outline the theory of monotone spaces and touch upon our most interesting results.
HPSG構文解析とスーパータガー
二宮 崇 (愛媛大学大学院理工学研究科)
日本語や英語などの自然言語で記述された文に対し、計算機を用いてその構造を自動的に解析することは構文解析と呼ばれます。構文解析の方法の一つに、HPSG(Head-driven Phrase Structure Grammar, 主辞駆動句構造文法)と呼ばれる言語学的に厳密に規定された文法を用いた解析方法があります。本発表では、HPSGとその確率モデル (条件付き確率場)について紹介し、さらに、構文解析の精度と速度を向上するためのスーパータガーと呼ばれる技術について紹介します。
An introduction to cardinal invariants of the continuum
Jörg Brendle [ブレンドレ, ヨーグ] (神戸大学大学院システム情報学研究科)
Cardinal invariants of the continuum are cardinal numbers which describe the combinatorial structure of the real line, and which typically take values between the first uncountable cardinal \(\aleph_1\) and the size of the continuum. Their exact value depends on the model of set theory. In my talk, I will give a brief introduction to this field, discuss some of the most important cardinal invariants, and then outline some recent research in this area about the unbounding number and relatives of the almost disjointness number.
ジャンプを持つ確率過程に対する伊藤解析について
藤原 司 (兵庫教育大学自然系)
Levy過程に代表されるジャンプを持つ確率過程に対する伊藤解析について，その要点を提示する．さらに，その研究の延長上にある具体的な問題として，独立増分性を持つセミマルチンゲールの指数型モーメントを考察する．
非可換調和振動子の整数論
若山 正人 (九州大学大学院数理学研究院, マス・フォア・インダストリ研究所 所長)
非可換調和振動子とは、2個の本質的なパラメータをもった２階の常微分方程式系である。パラメータが一致するときは通常の調和振動子の組となり、その固有値は既知であるが、一般には、具体的記述は未発見である。しかしながら、そのスベクトルゼータ関数からは、特殊値を通して、保型形式や楕円曲線といった豊かな数論的対象が現れる。その内容と研究の展望についてお話したい。
A parabolic-elliptic system of drift-diffusion type with subcritical mass in two-dimensional space
永井敏隆（広島大学大学院理学研究科数学専攻）
走化性生物モデルである Keller-Segel 方程式を単純化したdrift-diffusion タイプの放物型・楕円型方程式系に対する初期値問題を2次元空間で考える．その初期値問題の非負解の全質量は保存され，その全質量の値は解の時間大域的存在や時間無限大での振舞いに影響を与える．本講演で，全質量が \(8\pi\)より小さい（subcritical mass）場合に解の時間大域的存在や時間無限大での振舞いについて解説する．
擬似乱数についての高速ジャンプ計算法
原本博史（愛媛大学教育学部）
複数の計算機で、同じ擬似乱数発生器を用いて乱数を発生させる場合、乱数の重複利用を避けるため各計算機に異なる初期状態を割り当てる必要があります。十分大きな正整数 \(J\) に対して \(J\) 回後の状態遷移を予め計算できればよいのですが、メルセンヌツイスターやWELLといった信頼性の高い擬似乱数については、状態空間の次元が大きいためこのような操作は困難と思われてきました。
この発表では擬似乱数の高速ジャンプ法について、sliding window algorithmによる方法及びKaratsubaによる多項式乗算を用いた方法について、アルゴリズムと実験結果の紹介をしたいと思います。
Dry Foamの粗大化現象 〜幾何と物理の邂逅〜
島 弘幸(北海道大学大学院工学研究院)http://subutu-ap.eng.hokudai.ac.jp/staff/staff_shima.html
Foam(発泡体)とは、薄い液層で区切られた細かな気泡の集合体のことです。中でも表題に挙げたDry foamとは、隣接する気泡間の液層が非常に薄い発泡体を指します。 例えば、冷たいビールをグラスに注くと、グラス上端には無数の気泡で隙間なく埋め尽くされたDry foamが形成されます。このDry foamを構成する個々の気泡の大きさは、隣接泡間で起こるガス拡散のために収縮or膨張しますが、実はその成長過程は驚くほどシンプルな式 (von Neumann則) で記述できることが知られています。そこで本講演では、上記の成長則を導出するとともに、幾何学が密接に関連する類似の自然現象(細胞凝集パターンや乾燥亀裂パターン)についてもご紹介します。
Scattering and blowup problems for a class of nonlinear Schrodinger equations
赤堀 公史 (愛媛大学)
We consider nonlinear Schrodinger equations with general nonlinearities. Under some assumptions to the nonlinearity, including the mass-supercritical and energy-subcritical condition and a kind of mountain-pass structure, we prove scattering and blowup results in the spirit of Kenig and Merle. (This is joint work with Hiroaki Kikuchi and Hayato Nawa.)
Characterizing filters by filter convergence in Banach spaces
Salvador Garcia-Ferreira (UNAM, Mexico)
Let \(X\) be a topological space and let \(\mathcal{F}\) be a filter on \(\mathbb{N}\), recall that a sequence \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) in \(X\) is said to be \(\mathcal{F}\)-convergent to the point \(x \in X\), if for each neighborhood \(U\) of \(x\), \(\{n \in \mathbb{N} : x_n \in U \} \in \mathcal{F}\). By using filter convergence in \(\ell_1\) and in Banach spaces, we characterize the \(P\)-filters, the \(P\)-filters\({}^+\), the weak \(P\)-filters, the \(Q\)-filters\({}^+\), the weak \(Q\)-filters and the selective\({}^+\) filters.
半空間上での双曲・放物型方程式系の解の漸近挙動
中村 徹 (九州大学)
全空間における圧縮性Navier-Stokes方程式の解の安定性解析については, 1980年に松村・西田によって（ポテンシャル外力で定まる）定常解の安定性がエネルギー法によって示され, さらに川島等によって圧縮性粘性流体の様々なモデル方程式を包括するような双曲・放物型保存則系における統一的理論へと発展された. 一方半空間上での問題については, 2001年に松村により様々な解の漸近形の予想が示されており, その中でも境界層解と呼ばれる定常解の漸近安定性が等エントロピーモデルや熱伝導モデルに対して近年示されている. そこで本講演では半空間における一般的な双曲・放物型保存則系に対する境界層解の安定性に関する結果を報告する. 具体的には1次元半空間において特性速度が全て負となる場合について, 境界層解の漸近安定性を川島・静田の安定性条件のもとエネルギー法を用いて示す. なお本講演の内容は西畑伸也氏(東工大)との共同研究に基づく.
非概均質的局所関数等式について
佐藤 文広 (立教大学理学部)
大雑把な言い方であるが、実係数多項式の絶対値の複素数乗の超関数としてのフーリエ変換が、また、ガンマ関数で書かれるような定数倍を除いてある実係数多項式の絶対値の複素数乗で表わされるとき、局所関数等式が成立するという。このような性質をもつ実係数多項式を組織的に構成する方法としては、概均質ベクトル空間の理論がほとんど唯一のものであった。この講演では、概均質ベクトル空間の理論は得られぬ局所関数等式についての小木曽岳義氏（城西大学）との共同研究を紹介する。
帰納的次元と次元を下げる写像について
服部 泰直 (島根大学総合理工学部)
W. Hurewicz (1927) は次を証明した:コンパクト距離空間上の連続写像 \(f : X \to Y\)に対して、 \[ \dim X \leq \dim f + \dim Y, \] が成り立つ、ただし \(\dim f = \sup\{\,\dim f^{-1}(y)\,:\, y \in Y \,\}\) とする.
このような写像を次元を下げる写像(dimension lowering mapping) と言い、この種の定理を dimension lowering mapping theorem（または、Hurewicz formula) という。Hurewicz の定理以降、多くの研究者（たとえば、Filippov, Morita, Nagami, Fedorchuk, Pasynkov 等）により、被覆次元に関する dimension lowering mapping theorems が発見されてきた。しかし、帰納的次元に関しては被覆次元の場合とは状況が異なっている。そこで、本講演では被覆次元の dimension lowering mapping theorems を紹介するとともに、帰納的次元に関する状況を述べ、fully closed mappings に関する dimension lowering mapping theorems の一般化について述べる。
多様体の収束と調和関数
本多正平（京都大学数理解析研究所特定研究員）
リーマン多様体の収束・崩壊理論は，荒く言って，リーマン多様体の動かし方を指定し，その様子を調べる枠組みといえる．一方，これまでに知られている，ソボレフ空間論などの関数空間論は，リーマン多様体などの空間を一つ止めて，その上で関数の動かし方を指定する枠組みを与えていると考えられる．
本講演では，空間とその上の関数を共に動かしたときに，ソボレフ位相が定義できることを紹介し，それを用いた，リーマン多様体上の調和関数への応用を述べたい．
Coarse geometry and Topology of Higson corona
深谷友宏（京都大学理学研究科数学教室）
Coarse geometryとは標語的にいえば，距離空間を荒く見たときの大域的な振る舞いを調べる幾何学です．その背景として，Novikov予想やBaum-Connes予想があります．この講演ではそうした背景について簡単に説明した後で，距離空間の無限遠境界を利用するというHigsonのアイディアを紹介します．HigsonはHigsonコロナと呼ばれる境界を導入しました．HigsonコロナはCoarseカテゴリーからCompact Hausdorff空間への関手になっているなど，良い性質を持っている反面，非常に複雑で具体的には手のつけられようが無いような空間になっています．Higsonコロナと（Coarse版）Baum-Connes予想との関連を述べた後，時間があれば，Higsonコロナのトポロジーに関する講演者の結果を述べたいと思います．
良い強制拡大は，位相空間の良い性質を壊さない
嘉田 勝 （大阪府立大学理学部）
1963年にコーエンは「連続体仮説は通常の数学的前提（＝ZFC集合論）のもとでは証明も反証もできない」ことを証明しました．コーエンはこの証明のために，強制法という強力な集合論的手法を編み出しました．位相空間論の問題には，連続体仮説と同じ意味で「証明も反証もできない」ものが数多くあります．強制法を使って位相空間論の問題が「証明も反証もできない」ことを証明するときには，強制拡大によって位相空間の性質が壊れるか保たれるかを調べることがしばしば重要になります．本講演では，強制法について，エンダウメントと呼ばれる「良い性質」を導入し，エンダウメントをもつ強制法を使った強制拡大では，リンデレーフ性をはじめとする位相空間の「良い性質」が保たれることを示します．
スライド：november_12_2010_kada.pdf
写像類群の幾何学
藤原 耕二 （東北大学大学院情報科学研究科）
曲面の写像類群は古くから研究されている対象であり、トポロジー、代数トポロジー、微分幾何、数論など多くの分野が交錯する興味深い対象である。
この講演では、幾何学的群論の立場から論じる。とくにカーブ複体の双曲性を使って得られる結果を紹介したい。
Global and local behavior of the bifurcation curve for nonlinear Sturm-Liouville problems
柴田徹太郎 （広島大学・大学院工学研究院）
ロジスティック方程式に関連する常微分方程式 \(-u^{\prime\prime}(t)+u(t)^p=\lambda u(t)~~(0<t<1), ~u(0)=u(1)=0\) の正値解を考える. \(p>1\) は定数, \(\lambda>0\) はパラメータである. \(\lambda>\pi^2\) を与えると, 対応する正値解 \(u=u_\lambda(t)\) がただひとつ存在することが知られている. このとき \(\lambda\) は対応する正値解の \(L^q\) ノルム \(\alpha:=\|u_\lambda\|_{L^q}\), (\(1\leq q\leq \infty\)) のグラフとして表され, \(L^q\)-bifurcation curveと呼ばれる. すなわち \(\lambda=\lambda_q(\alpha)\) (\(\alpha>0\)). 本講演では \(\lambda=\lambda_q(\alpha)\) の \(\alpha\to0\), \(\alpha\to\infty\) のときの漸近公式を紹介する.
On a quasilinear shape memory alloy system with temperature dependent specific heat
吉川周二（愛媛大学）
Falk-Konopka型の形状記憶合金方程式は、Kelvin-Voigt型の多次元熱粘弾性方程式と同様にして導出される。ここでは、この形状記憶合金方程式の比熱が温度に依存する場合で、特に比熱が温度について線形増大する場合の方程式を考える。低温でのエントロピーの振る舞いを指定する熱力学第三法則を、この比熱は満たす。本講演では、この方程式の時間大域解の一意存在と定常状態の安定性について紹介する。
空気流中における糸の運動の方程式
猪狩勝壽(愛媛大学名誉教授)
空気流中に一端を固定して置かれた糸の運動について考える。一様で等速な流れでも、流速が一定の値を超えると糸は揺れ続けるという現象が観察される。私達は運動を記述する偏微分方程式系を導き、数値計算によってこの現象を再現することに成功した。本講演ではこの偏微分方程式系について導き方を中心に解説する。
レベル環のヒルベルト関数について
張間 忠人 (愛媛大学)
ヒルベルト関数は、次数付き環の基本的な数値不変量である。講演では、自然数からなる有限数列が、レベル環のヒルベルト関数であるための必要条件に関する結果を紹介します。これらは、Anthony V. Geramita (Queen's University, University of Genova)、Juan C. Migliore (University of Notre Dame) 、Yongsu Shin (Sung Shin Women's University)との共同研究（2007年）に基づきます。
Fixed-point property for cocompact CAT(0) spaces
豊田 哲 (名古屋大学)
CAT(0)空間とは非正曲率性を距離空間のことばで定式化した空間であり、離散群の作用する空間として幾何学的群論において重要な役目を担っている。与えられた距離空間Yへの作用のあり方によって定式化された群の性質として、
という二つの対極的な性質は基本的である。本講演では、測地的完備 なCAT(0)空間Yに対しては、前者の性質を満たすような群が存在するなら、後者の性質を満足するような（無限双曲）群も必ず存在するということを紹介したい。
Drift-diffusion 系の臨界指数について
小川卓克 (東北大学)
半導体シュミレーションや走化性生物モデルなどに共通して現れる、drfit-diffusion系は, 比較的簡単な偏微分方程式ではあるが, 多岐にわたる数学的実態を内包する. 反応拡散型方程式の一種でありながら, 輸送効果を持つ項から, 流体方程式としての一面も 見せ,楕円型の項から非局所的な効果を兼ねるために, 比較原理が使えない. さらに保存則から導かれるために, 定常問題は自然に変分法を介して定式化される. ことに, 断熱指数から現れる非線形項の指数にいくつかの臨界値が生じることが知られており, それぞれの状況に応じて問題の様相も変化する. ここでは特に, Sobolev 臨界指数に相当する場合について解の大域可解性について述べる.
An elementary approach to Haar integration and Pontryagin duality in locally compact abelian groups
Dikran Dikranjan (Udine University)
The proof of Pontryagin - van Kapmen's duality theorem for locally compact abelian groups is based on Peter-Weyl's theorem for compact abelian groups. We discuss an approach to Peter-Weyl's theorem, developed by Ivan Prodanov, that makes no recourse to Haar integration. This elementary proof makes use of Følner's theorem and an approximation lemma due to Prodanov. As a by-product one obtains the Haar integral in locally compact abelian groups as well as Bohr - von Neumann's theorem about almost periodic functions on abelian groups.
GL(3)の無限素点における局所Whittaker関数とその応用
宮崎 直（東京大学大学院数理科学研究科）
Whittaker関数は保型形式のFourier係数として現れる関数であり、 保型L関数への応用等を考える上で重要な対象である。 この講演では、前半でGL(n)上の保型形式とL関数について簡単に概説し、 後半にGL(3)の無限素点における局所Whittaker関数の明示公式と その保型L関数への応用についての最近の進展を紹介したい。 (石井卓氏、平野幹氏との共同研究)
複素Ginzburg-Landau方程式の \(L^p\) 適切性
松本敏隆 (広島大学大学院理学研究科 数理分子生命理学専攻)
複素Ginzburg-Landau方程式の時間大域解の存在と一意性については、Ginibre-Velo, Mielke, Okazawa-Yokota達によって \(L^p\) 空間において示されているが、いずれも \(p\geq2\) または \(p=2\) の制限がついている。 本講演では、\(1\leq p\leq 2\) の場合も込めて \(L^p\) 空間における時間大域的適切性へのLipschitz作用素半群による接近法を紹介する。(田中直樹氏との共同研究)
\(C_p\)-theory in topological groups
Jan Spevak (スペヴァク, ヤン)
愛媛大学
Let \(G\) be a topological group and \(X\) a topological space. The main object of our talk is the topological group \(C_p(X,G)\) of all continuous \(G\)-valued functions on \(X\) equipped with the pointwise group operations and the topology of pointwise convergence.
This topic contains as a particular case the \(C_p\)-theory of topological vector spaces \(C_p(X,\mathbb{R})\) of real-valued continuous functions on a topological space \(X\) with the topology of pointwise convergence that is being extensively developing since seventies.
We will point out some connections with free topological groups in a given class of topological groups. The existence of a dual of the topological group \(C_p(X,G)\) and duality similar to the duality of reflexive Banach spaces will be discussed.
ルート系の多重ベルヌーイ多項式と多重 \(L\)-関数について
小森 靖
名古屋大学
リーマンゼータ関数は様々に拡張され, 現在では多くの分野で重要な役割を果たしている. 本講演では, リーマンゼータ関数や Euler-Zagier 多重ゼータ関数を含む新たな拡張として, ルート系に付随するゼータ関数, \(L\) 関数及びベルヌーイ多項式を紹介する. またそれらの応用や更なる拡張などについても報告したい. これらは名大の松本耕二氏, 首都大の津村博文氏との共同研究である.
ゼータ関数, アイゼンシュタイン級数の関数等式とそれに付随する関係式
津村 博文
首都大学東京理工学研究科
よく知られたリーマンゼータ関数の関数等式は様々な形で一般化がなされている。この講演では, リーマンゼータ関数の多重級数版と見られる二重ゼータ関数, アイゼンシュタイン級数, バーンズゼータ関数の関数等式, およびそれらに付随する Cauchy や Ramanujan 等によって得られた関係式を紹介する。さらにそれらの拡張とみられる最近の結果について報告する。これらは名大の松本耕二氏, 小森靖氏との共同研究を含む。
Jucys-Murphy元を変数とするモノミアル対称多項式について
松本 詔
名古屋大学多元数理科学研究科
Jucys-Murphy元は対称群の群環の元であり、表現論を中心に近年広く用いられている。本講演では、これらを変数とする対称多項式について考察する。各々の置換における値を計算すると、カタラン数やその一般化が現れてくる、という結果を紹介する。なお、この講演は、対称群や整数の分割の扱いに慣れていると理解しやすいだろうが、特に予備知識は必要とせず、組合せ論の話をする。
非可換岩澤理論の現状
加藤和也
京都大学
岩澤健吉先生によって創始された岩澤理論は、ゼータ関数という解析的な対象と、イデアル類群や楕円曲線の有理点の群やそれらに作用するガロワ群などの代数的な対象が、全く性格が異なるのにもかかわらず、大きな距離を超えて関係し合うおもしろさを持っている。ゼータ関数は、本来複素平面をすみかとしている。それなのに、岩澤理論によると、ゼータ関数は、解析的なおかたにとって代数的な世界の住み心地はいかがかという心配をよそに、ガロワ理論にもお住まいなさるのである。旧来の岩澤理論では、登場するガロワ群が可換群である場合が考察されていたのであるが、J. Coates さんが中心となり、非可換なガロワ群が登場する非可換岩澤理論が発展を始めた。この理論はまだ、発展途上で、どんどん発展するのか、すたれてしまうのか、さっぱりわからないというおもしろさもある。
そういう面白さをご説明できればと願っている。
作用素環論の紹介
勝良健史
慶應義塾大学理工学部
私が研究している作用素環は，1930年代にvon Neumannによって量子力学を数学的に定式化するという目的で作られた数学の中では比較的新しい分野である．作用素環は大きくvon Neumann（フォンノイマン）環とC*（シースター）環の2つに分けることができ，私はC*環を研究している．物理学から誕生した作用環は，その後数学の多くの分野と係わり合いながら今日までさかんに研究されている．本講演では，作用素環，特にC*環のこれまでの発展を力学系，グラフ，可換環など数学の他の分野との関係を中心にしながら紹介したいと思う．
複素半単純Lie環の最高ウェイト表現
阿部 紀行
東京大学大学院数理科学研究科
Cartan-Weylは複素半単純Lie環の有限次元表現を分類したが，その際に注目したのが表現の最高ウェイトであった．Vermaは有限次元とは限らない最高ウェイトベクトルにより生成される表現を考察し，更にBernstein-Gelfand-Gelfandらにより系統的な研究が行われた．現在，このような表現は複素半単純Lie環の無限次元表現の中で，一つの重要なクラスとして認識され，活発な研究が行われている．今回は，最高ウェイトベクトルにより生成される表現について，その理論，特にVerma加群と呼ばれる表現について，例を中心とした紹介を行う．
Maximal almost disjoint families
Jörg Brendle (ブレンドレ, ヤーグ)
神戸大学
Let κ be an infinite cardinal number. A family A of subsets of κ is called almost disjoint if all members of A have size κ and any two distinct members of A have intersection of size less than κ. The family A is said to be maximal almost disjoint (or mad) if it is maximal with this property, that is, any subset of κ of size κ has intersectionof size κ with some member of A.
Almost disjoint families play an important role in set theory as well as in applications of set theory to other areas of mathematics, e.g. in set-theoretic topology. Examples are the almost disjoint coding technique in forcing theory, or the construction of the Isbell-Mrowka space in topology.
We give a survey talk on results and questions on mad families from the set-theoretic perspective.
Topological Entropy of Endomorphisms of Compact Abelian Groups, or the Tale of Three Entropies
Dikran Dikranjan
University of Udine, Italy
To evaluate the ``chaos" or ``disorder" caused by a transformation \(T:K\to K\) (preserving the natural structure of \(K\)) one defines the entropy of \(T\). The algebraic entropy of endomorphisms \(T:K \to K\) of an abelian group \(K\) was introduced by Adler, Konheim and McAndrew. In the same paper they introduced also the topological entropy of the continuous self-maps of compact topological spaces. The specific case of compact topological groups \(K\) and their endomorphisms \(T:K \to K\) is of special interest by the fact, first noticed by Paul Halmos, that the surjective endomorphisms are also measure preserving maps with respect to the Haar measure of the group \(K\). Hence the measure-theoretic entropy of \(T\) can be also considered and it turns out to coincide with the topological one. In case \(K\) is abelian, one can consider also the discrete Pontryagin dual group \(\widehat K\) and the adjoint endomorphism \(\widehat T: \widehat K \to \widehat K\). It certain cases (e.g., when \(K\) is pro-finite, or metrizable [i.e., when \(\widehat K\) is torsion, or countable]), the topological entropy of \(T\) coincides also with the algebraic entropy of \(\widehat T\) (according to theorems of Weiss and Peters, resp.). In other words, under appropriate conditions all three entropies agree.
The talk is addressed to a general audience and will discuss some recent results on the topological entropy of endomorphisms of compact abelian groups and the algebraic entropy of the endomorphisms of Abelian groups.
Principal series Whittaker functions on GL(3,C)
平野 幹
成蹊大学
保型形式に関連した L関数の研究においてはWhittaker関数と呼ばれる特殊関数の詳細な情報が重要である。この講演では GL(3,C) の主系列表現に対するWhitatker関数についての最近の結果について紹介したい。（一部、織田孝幸氏との共同研究）
Lifshitz tail for Schrödinger operators with random Aharonov-Bohm magnetic fields
野村 祐司
愛媛大学工学部
ランダムなδ型磁場を持つシュレーディンガー作用素の状態密度関数が、スペクトルの下端においてどのような挙動をするかを考察します。これが Aharonov-Bohm 効果のひとつの表現であることをお話したいと思います。本講演は京都工芸繊維大学の峯拓矢氏との共同研究に基づきます。
スキームのサイクル写像と0サイクルの有限性定理
佐藤 周友
名古屋大学多元数理科学研究科
代数多様体のChow群は因子類群とイデアル類群を一般化した不変量であり、代数幾何学的にも整数論的にも興味深い対象です。この講演では「サイクル写像とは？」という所から出発し適当な自然数を法としたChow群の有限性について最近の進展を紹介します。
ねじれAlexander不変量とその応用について
森藤 孝之
東京農工大学工学府
有限表示群とその線形表現に対して、ねじれAlexander不変量とよばれる有理関数が定まります。これは古典的なAlexander多項式の自然な一般化として定式化されるものです。その基本的な性質からはじめて、ここ数年で発展したいくつかの応用例について概観します。
有限群の不変式からモジュラ形式へ
大浦 学
高知大学理学部
ある特殊な２ｘ２行列からなる有限群から始めます。この群は２変数多項式環に自然に作用しますので、この作用で不変な多項式を考えます。一般に有限群の不変式を構成するのは煩雑ですが、この場合の不変式は２元体上のベクトル空間として定義される符号から具体的な構成が可能です。また、この不変式を利用してモジュラ形式が得られます。以上の話の一般論と最近の結果をお話しします。
Maximum principles and applications to the study of some elliptic and parabolic problems
Cristian ENACHE
愛媛大学特別研究員
The goal of my talk will be to present some new elements concerningthe maximum principles and their applications to the study of the classicalsolutions of some elliptic and parabolic PDE's of the second order. I willorganize my talk in three parts.
The first part will be a short introduction of the essential tools used toobtain my results : Hopf's maximum principles in the elliptic case, Nirenbergand Friedman's maximum principles in the parabolic case and some computationsin normal coordinates.
In the second part we make use of Hopf's maximum principles to derive bounds for some quantities related to a class of nonlinear elliptic problems. To this aim,we have introduced some appropriate combinations of the solution u(x) of ourproblem and the magnitude of its gradient which satisfy some ellipticdifferential inequalities. Making use of Hopf's first and second maximumprinciples, we then conclude that the considered auxiliary functions take theirmaxima at a critical point of u(x). This leads to a variety of inequalitiesbetween u(x) and |grad u(x)|. Some interesting applications will be presented.
In the third part we are interested in the spatial decay bounds for the solution of the classical initial-boundary value problem of heat diffusion in a longcylindrical region if the far end and the lateral surface are held at zerotemperature and a non zero temperature is applied at the near end. Since thesolution of this problem can blow up at some point in space time, our aim is toderive sufficient conditions on the data which guarantee that the solutionremains bounded. Moreover, under such conditions, we show that thesolution and its derivatives should decay along the z-axis of our cylindricalregion provided the boundary of the cross section is sufficiently regular. Weobtained some explicit spatial decay bounds for the solution, its crosssectional derivatives and its temporal derivative. We also proved that thesolution depends continuously on the data at the near end of the cylinder.
Constructions of continua based on the Topologist sine curve
Dušan Repovš
University of Ljubljana (リブリャナ大学, スロヴェニア)
We shall present a variety of interesting applications of the classical example of a 1-dimensional connected non-Peano planar continuum, the Topologist sine curve:
\[ T = \Big\{\, (x,y)\in\mathbb{R}^2\;\Big|\; y = \sin(1/x),~0<x\leq 1 \,\Big\} \cup \Big(\{0\}\times [-1,1]\Big) \](and its derivatives, most notably the Warsaw circle) to diverse problems of geometric topology in dimensions 2 and 3. For example: the Karimov-Repovš example showing that the classical van Kampen theorem fails without the openess condition, the Karimov-Repovš-Željko counterexample to Molnar's theorem from 1950's, the Eda-Karimov-Repovš construction of a 2-dimensional noncontractible simply connected cell-likecontinua, etc. We shall also discuss several open problems and related conjectures.
指数関数と偏微分方程式に対する逆問題
池畠 優 (Masaru Ikehata)
群馬大学工学部
複素変数の指数関数は調和関数であり、指数法則を満たし、振動と増大減衰を併せ持つ基本的な関数である。近年、指数関数のこの性質は、偏微分方程式に対する逆問題において重要な役割を果たすことが認識された。この講演ではLaplace方程式に対する Cauchy 問題、楕円型偏微分方程式に対する境界値逆問題、および熱方程式に対する初期境界値逆問題などの具体的な逆問題を取り上げ、偏微分方程式に対する逆問題と指数関数とのかかわりについて述べる。したがって話は以下のように三つの部分に分かれる。
| Episode I. | Laplace 方程式に対する Cauchy 問題 |
|---|---|
| Episode II. | 境界値逆問題 |
| Episode III. | 熱方程式に対する初期境界値逆問題 |
非有界領域における重みつきソボレフ空間に対する一考察
大屋 博一 (Hirokazu Ohya)
早稲田大学理工学部数理科学科
無限遠方で指数関数的に発散する係数を含む重みつきソボレフ空間の埋め込みに関しての考察を紹介する。EscobedoとKavianによる研究においては 対応するHilbert空間に対する埋め込み連続性（コンパクト性）と係数関数の無限遠方における振る舞いとの関係を調べている。彼らの研究においては同じ形の指数関数を係数に持つソボレフ空間を扱い、埋め込みの性質を述べるための十分条件を導き出している。この講演では彼らによって定義された重みつきソボレフ空間をより一般のBanach空間に拡張し、それらの関数空間に対し埋め込みに関する同様の性質が得られたことを紹介する。
リーマンゼータ関数の絶対テンソル積とそのオイラー積表示
(Absolute tensor-products and their Euler product expression associated with Riemann's zeta)
赤塚広隆 (Hirotaka Akatsuka)
東京工業大学大学院理工学研究科
絶対テンソル積は、ゼータ関数の非自明零点の研究のため、黒川(1992)により導入された。これは、いくつかのゼータ関数から、それらの零点・極の和を零点または極に持つ有理型関数を考察することに相当する。この有理型関数はオイラー積等、ゼータ関数と類似の性質を持つことが期待される。本講演では、ゼータ関数２個から構成される有理型関数のオイラー積表示について取り扱う。これと類似の結果が小山・黒川(2005)により得られているが、Cramer(1919)の関数を利用した別方法でオイラー積を得ることができたので、その概略を解説する。
反応拡散方程式の定常解の分岐構造とその数値的な検証について
(Bifurcation structure of static solutions of diffusion equation and its verification using numeric simulation)
觀音幸雄 (KANON Yukio)
愛媛大学教育学部
拡散係数を分岐パラメータとしたある反応拡散方程式の球対称定常解の分岐構造について考察する．定数定常解からの分岐に関して，そのまわりでの線形化作用素の固有値分布を調べることにより，分岐が実際に起こるのかどうかは比較的容易に確認できるが，定常解の大域的な分岐構造を理解する際に重要な役割を果たしている定数定常解のまわりでの局所的な分岐構造を理論的に特定することは一般に困難な場合が多い．本報告では，Mathematicaを用いた数値的な検証方法により，定数定常解のまわりでの局所的な分岐構造の特定を試みる．
ほとんど平行移動できない集合について
(On almost translation-invariant sets of reals)
藤田 博司 (Hiroshi FUJITA)
愛媛大学大学院理工学研究科
「\(A\)は実数の集合で、どんな実数 \(t\) に対しても \((A+t)\setminus A\) が高々可算集合となるようなもの、だとする。このとき、\(A\) 自身または補集合 \(\mathbb{R}\setminus A\) が可算集合になるだろうか？」という問題を考える。この問題への反例の存在は、連続体仮説と同値（従って集合論と独立）である。（SierpinskiとRothbergerによる。）この講演では、この意味で「ほとんど平行移動できない」特異な集合について考え、ボレル集合は決してそのような性質を持たない、などの結果を紹介する。